Диагностика математических понятий у учащихся

Усвоить понятие — значит, усвоить систему знаний о некотором объекте и научиться использовать их в деятельности. Но чаще всего ребята называют признаки и свойства математических понятий, которые были подробно рассмотрены в соответствующих пунктах учебника, т.е. являлись объектом специального изучения.

Другие суждения о понятии (с которыми учащиеся знакомятся в процессе решения задач или при изу чении других понятий), как правило, не включа ются в его содержание и усваиваются как отдель ные факты, вне связи с понятием. Кроме того, школьники не владеют приемами деятельности, позволяющими успешно рассуждать, решать зада чи, т.е. применять понятие в деятельности. Это связано с тем, что в школьной практике формирование понятии как целена правленный процесс осуществляется слабо [6]. Анализ конспектов уроков учителей показал, что «форми рование понятия» как цель урока учителями даже не ставится (цели более узкие: изучить теорему, научить решать некоторые виды задач и др.), а уро ки обобщения и систематизации знаний, на кото рых должны обобщаться и логически упорядочиваться знания о формируемых понятиях, чаще все го превращаются в уроки повторения по данной теме. Это (и многое другое) ведет к фрагментарно сти знаний, неумению применять их на практике. Одной из причин такого положения является сложившееся и укоренившееся в методике обучения математике за последние десятилетия неверное представление о понятии и его формировании, при котором математический объект и математическое понятие не различались, а формирование понятия связывалось с его опре делением [6]. Поэтому при изучении основных понятий курса математики в средней школе необходимо своевременно устанавливать, преобразуется ли сообщаемая учащимся информация в знания, основанные на долговременном запоминании, а не оперативном, как это часто бывает. Это важно потому, что в школе закладывается основной понятийный аппарат, на базе которого впоследствии будут строиться более сложные математические теории.

Исходя из этого перед учителем математики стоят две задачи.

Первая – правильно формировать математические понятия . Вторая – делать экспертную оценку сформированности понятийного аппарата изученных тем.

Первой задаче соответствует традиционно применяемые на уроках различные подходы к введению и формированию математических понятий [6]. Дидактический материал, предлагаемый для этого, обширен и разнообразен [28]. Для второй задачи нет четко определенных и отработанных методов.

Отчасти она решается на уроке устным опросом при повторении пройденных тем. Но, очевидно, этот метод не позволяет охватить всех учащихся класса и является лишь эпизодическим.

Поэтому организация диагностики математических понятий у учащихся является актуальной, что и послужило причиной выбора этой темы в качестве выпускной работы.

Объект исследования – математические понятия.

Предмет исследования – диагностика математических понятий у учащихся. Цель исследования – найти методы диагностики сформированности понятийного аппарата, показать их эффективность в процессе обучения математике. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: 1) проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу, посвящённую проблеме диагностики математических понятий у учащихся и найти методы диагностики сформированности понятийного аппарата; 2) рассмотреть основные подходы к введению математических понятий ; 3) раскрыть роль определений в математической деятельности учащихся ; 4) показать, как конструируется собственно методическая концепция формирования математических понятий ; 5) показать значение вопросов при диагностике математических понятий у учащихся на уроках математики; 6) выявить уровень сформированности понятия 'величина' у учащихся III класса 7) рассмотреть метод ключевых понятий, который хорошо отвечает задаче оценки сформированности понятийного аппарата ; 8) выявить, как изменяется определение понятий в процессе их усвоения на примере учеников XI класса; 9) проанализировать результаты экспериментальных исследований.

Работа состоит из введения, двух разделов, заключения и списка использованных источников. В первом разделе ' Теоретико-методологические основы исследования ' рассматриваются различные подходы к введению математических понятий: конкретно-индуктивный, абстрактно-дедуктивный, деятельностный и исследовательский подходы; раскрывается р оль дефиниций в математической деятельности учащихся, а также показывается, как конструируется собственно методическая концепция формирования математических понятий, описываются методические требования к формированию понятий.

Практическая часть представлена во второй главе работы ' Экспериментальные исследования диагностики математических понятий у учащихся '. Здесь показано значение вопроса при диагностике математических понятий у учащихся на уроках математики и представлены различные методики с целью определения сформированности математических понятий в соответствии с нормативными характеристиками в различных классах. В результате теоретического и экспериментального исследовани я установлено, что очень важно при изучении основных пон я тий своевременно устанавливать, преобразуетс я ли сообщаема я учащимс я информаци я в знани я , основанные на долговременном запоминании, а не оперативном, так как в школе закладываетс я основной пон я тийный аппарат. При этом, я думаю, существенную роль играет то, как учитель смог сформировать то или иное пон я тие. Но не каждое пон я тие нужно вводить основательно, так как некоторые пон я ти я (предел, непрерывность и предел функции) сложны и плохо усваиваютс я учащимис я . Лучше высвободившеес я врем я уде лить формированию общего представлени я о но вых математических пон я ти я х, основыва я сь на зна нии их геометрического и физического смысла (в случае производной) или на нагл я дных представ лени я х учащихс я (в случае предела и непрерывности функции). Это будет честнее, чем требовать от учеников запоминани я недоступных их пониманию определений, которые в дальнейшем все равно не примен я ютс я . 1 Теоретико-методологические основы исследовани я 1.1 О подходах к введению математических пон я тий 1.1.1 Конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный подходы В методике под введением мате матического пон я ти я подразумевают этап ознаком лени я учащихс я с новым математическим объек том, заканчивающийс я его определением. В спе циальной литературе до недавнего времени рассма тривались два подхода к введению математических пон я тии: конкретно-индуктивный (переход от ча стного к общему, от примеров - к определению) и абстрактно-дедуктивный (переход от общего к ча стному, от определени я — к примерам) [6]. Основное достоинство первого подхода заключаетс я в том, что при введении нового пон я ти я учитель опираетс я на знани я и жизненный опыт учащихс я , что само по себе предполагает их актив ное участие в работе. Этот подход способствует развитию индуктивного мышлени я школьников. В методической практике сложилось неверное представление о том, что определение можно «от крыть». По этому поводу Г.Фрейденталь писал: «Как можно определить нечто, коль скоро не знают, что определ я ют?» [33]. А.С. Мищенко заметил, что внешне де я тельность «по открытию определе ни я » на уроке выгл я дит вполне современно, побуждает учеников к анализу ситуации, как говор я т «ак туализирует» их мыслительную де я тельность. В дей ствительности, указанный способ «введени я пон я ти я » утомл я ет детей и создает неверное представ ление о науке математике в целом. Все усили я на этом этапе должны быть направлены на закрепление употреблени я пон я тий (соответствующих терминов, обозначений) и их свойств в строгих математических формулировках дл я того, чтобы опи ратьс я на них в процессе математических рассуж дений [18]. Основна я роль определений в математи ке - служить начальным звеном в дедуктивном упор я дочении суждений о некотором пон я тии.

Абстрактно-дедуктивный подход обычно исполь зуетс я , когда определение нового объекта не слож но по структуре, а сам объект знаком ученикам. В этом случае его существенные свойства легко об наруживаютс я у объектов, рассматриваемых в ка честве примеров. Этот подход более экономичен по времени, но после введени я нового определени я со сложной структурой требуетс я некотора я (нередко значительна я ) работа по его усвоению. Так, часть определений курса геометрии и математического анализа школьники усваивают только после целенаправленной работы, основанной на изучении их структуры [20]. Например, распознавание пр я мой, перпендику л я рной плоскости, несложно. У учащихс я есть пред ставлени я о предметах, расположенных вертикально относительно поверхности земли.

Затруднени я школьников при изучении данной темы св я заны, прежде всего, с изображением пространственных объектов на плоскости и сложностью структуры самого определени я , формулировка которого содер жит слово «любой»: пр я ма я называетс я перпенди кул я рной плоскости, если она перпендикул я рна любой пр я мой, лежащей в плоскости.

Отметим, что абстрактно-дедуктивный подход можно применить при введении любого пон я ти я . Прин я то считать, что он развивает теоретическое мышление школь ников. Оба рассмотренных подхода основаны на абст ракции отождествлени я –процессе отвлечени я от исходных, различающихс я свойств предметов и выделении их одинаковых, тождественных свойств. Эти подходы в достаточной степени обеспечивают реализацию ориентировочной функции пон я ти я , позвол я ющей уверенно подводить под пон я ти я конкретные объекты. 1.1.2 Де я тельностный подход Сущность данного подхода заключаетс я в том, что, вз я в за основу некоторое свойство (или несколько свойств) математического объекта в каче стве основани я классификации, учащиес я под ру ководством учител я провод я т классификацию математических объектов по этому основанию [6]. В результате такой работы одному из получившихс я классов присваиваетс я некоторое название и даетс я определение объектов данного класса, т.е. начи наетс я формирование нового пон я ти я [10], [22]. Рассмотрим применение де я тельностного подхо да при введении пон я тий «параллелограмм» и «трапеци я ». Учитель. Из каких элементов состоит четырех угольник? Ученик. Из сторон и углов.

Учитель. Какие отношени я можно рассматривать дл я отрезков - сторон четырехугольника? Ученик.

Отношени я равенства, параллельности, перпендикул я рности.

Учитель. Наша задача — изучить четырехуголь ники с точки зрени я наличи я у них параллельных сторон.

Существует ли четырехугольник с одной парой параллельных сторон? Ученик. Да.

Учитель. Как это доказать? Ученик. С помощью построени я такого четырехугольника. (Один из учеников строит фигуру на доске, ос тальные - в тетрад я х.) Учитель.

Существует ли четырехугольник с дву м я парами параллельных сторон? Ученик. Да. (Делаютс я соответствующие построени я .) Учитель. Можно ли построить четырехугольник с трем я и более парами параллельных сторон? Ученик. Нет.

Учитель.

Почему? Ученик, Смежные стороны имеют общую точку, поэтому параллельными могут быть только проти воположные стороны. А их две пары.

Учитель.

Существует ли четырехугольник, у ко торого нет параллельных сторон? Ученик.

Существует. (Выполн я ютс я построени я на доске и в тетрад я х.) Таким образом, всего получилось три различных вида четырехугольника: с одной парой параллель ных сторон – трапеци я , с двум я – параллелограмм, и четырехугольник, не имеющий ни одной пары параллельных сторон, у него нет специального на звани я . Далее учитель вводит термины «параллелограмм» и «трапеци я », рассказывает о том, что эти четырехугольники изучались с древности. Они имеют много интересных и полезных с практической точки зре ни я свойств, поэтому дл я дальнейшей работы нуж но ввести их строгие определени я . Учащиес я без труда отвечают на вопрос, какой четырехугольник называетс я параллелограммом, поскольку знают основание классификации. Затем формулируетс я определение трапеции. После этого начинаетс я изу чение свойств и признаков введенных пон я тий [6]. Де я тельностный подход способствует пониманию учащимис я метода научного познани я дейст вительности, учит основам классификации. Он предполагает активное участие школьников в по знавательной де я тельности. С другой стороны, этот метод требует немалых затрат времени. Кроме того, он дает хороший результат лишь там, где класси фикаци я объектов по определ я ющему признаку возможна и целесообразна [13]. Так, де я тельностный подход уместен, когда вводитс я отношение между объектами, например, при изучении угла, вписанного в окружность; взаимного расположени я пр я мой и окружности, двух плоскостей и т.д. 1.1.3 Исследовательский подход Если рассмотренные выше подходы позвол я ют лишь ввести новое пон я тие, то исследовательский подход направлен на его формирование в целом (как системы взаимосв я занных логически упор я доченных суждений). При этом можно организо вать познавательную де я тельность учащихс я таким образом, чтобы воспроизвести (с некоторой долей достоверности!) де я тельность ученого-математика, направленную на изучение нового объекта и образование пон я ти я [6]. Напомним, что при исследовательском подходе совместна я де я тельность учите л я и учащихс я включает следующие этапы: - постановка цели де я тельности; - эмпирическое изучение нового математичес кого объекта, поиск его свойств; - формулирование найденных свойств в виде гипотез; - введение нового термина, определение мате матического объекта; - проверка истинности высказанных предполо жений путем отыскани я их доказательств; - поиск признаков исследуемого объекта (рас смотрение обратных утверждений); - уточнение логических св я зей между суждени я ми, схематизаци я содержани я нового пон я ти я ; усвоение этого содержани я ; - обучение применению нового пон я ти я в де я тельности: решение опорных задач, выделение об щих приемов де я тельности, способствующих при менению пон я ти я (например, отыскание эвристик); - применение пон я ти я в нестандартных ситуа ци я х [26]. Покажем, как может осуществл я тьс я исследовательский подход при изучении пон я ти я «равнобе дренна я трапеци я ». Традиционно это пон я тие вводитс я в теме «Тра пеци я ». Но его подробное рассмотрение можно отложить до момента, когда будет изучатьс я теорема Пифагора, поскольку именно в последней теме пон я тие трапеции широко примен я етс я при реше нии задач [6]. Класс разбиваетс я на группы. Перед началом беседы учитель раздает ученикам (каждому или по одному на группу) чертежи равнобедренной трапе ции.

Учитель.

Назовите основные элементы трапеции.

Ученик. Стороны, углы, диагонали.

Учитель.

Сегодн я на уроке мы попробуем изу чить данный четырехугольник, как, возможно, много веков назад это сделали ученые-математики.

Вспомните, что интересует геометров при изуче нии фигур в первую очередь? Ученик.

Соотношени я между ее сторонами и уг лами.

Учитель. Так кто же сформулирует цель нашего исследовани я ? Ученик. Цель — вы я вить соотношени я между эле ментами трапеции, т.е. между сторонами и углами. А также изучить другие особенности фигуры.

Учитель.

Математики уже в древности знали немало свойств и признаков этого четырехуголь ника.

Возьмите в руки линейки, транспортиры.

Измерьте, а затем сравните стороны, углы трапе ции, ее диагонали.

Сформулируйте гипотезы о свойствах этих элементов трапеции. После работы в группах беседа возобновл я етс я . Учитель. Каким свойством обладают боковые стороны трапеции? Ученик. Они равны.

Учитель. Каким свойством обладают углы этой трапеции? Ученик. Углы при каждом основании трапеции равны.

Учитель. Каким свойством обладают диагонали трапеции? Ученик. Они равны.

Учитель. Какие еще особенности этой трапеции вы заметили? Реб я та могут добавить, например, такие сужде ни я : - высоты трапеции, проведенные из вершин меньшего основани я , отсекают от нее равные пр я моугольные треугольники; - диагонали разбивают трапецию на два равных и два равнобедренных треугольника. Если ученики называют свойства, которыми об ладает люба я , а не только равнобедренна я , трапе ци я , то учитель дает соответствующие по я снени я и не включает эти свойства в список [6]. Беседа возобновл я етс я . Учитель. Можно ли считать, что мы с вами изу чили данную фигуру? Ученик. Нет. Пока у нас есть только гипотезы.

Учитель. Что же нужно сделать дальше? Ученик. Надо их доказать.

Учитель. Но ученые доказывают теоремы. Сфор мулируйте хот я бы одну из них.

Поскольку учащиес я не могут использовать тер мин «равнобедренна я трапеци я » (который еще не введен), они предлагают суждени я типа: «Если боковые стороны трапеции равны, то ее углы при основани я х также равны», «Если боковые стороны трапеции равны, то ее диагонали равны» и т.д.

Учитель должен обратить внимание школьников на большое количество утверждений и на тот факт, что одни из них следуют из других [35]. Например, при условии, что окажутс я верными утверждени я : если боковые стороны трапеции равны, то и углы при основании равны и если углы при основании трапеции равны, то ее диагонали равны, будет верно утверждение: если боковые стороны трапеции равны, то ее диагонали равны. Далее даетс я определение равнобедренной тра пеции, а гипотезы оформл я ютс я в виде схемы (рисунок 1.1). Трапеци я с равными боковыми сторонами

Очевидно, что не все ученики смогут его выполнить, а в некоторых случа я х задание может оказатьс я непосильным на данном этапе изучени я . Отметим, что в процессе решени я задач, а также при изучении других тем, начата я работа может быть продолжена [6]. На следующем этапе у учащихс я формируетс я умение примен я ть пон я тие «равнобедренна я тра пеци я » в речи, в рассуждени я х при решении задач.

Школьники должны научитьс я проговаривать им пликативные высказывани я в общеутвердительной, более соответствующей естественному я зыку, фор ме.

Например, формулировку теоремы: если трапе ци я равнобедренна я , то ее углы при основании равны, им следует произносить так: в равнобедренной трапеции углы при основани я х равны. Кроме того, уча щиес я должны уметь правильно перечисл я ть свой ства равнобедренной трапеции.

Обучение применению пон я ти я можно начать с рассмотрени я опорных задач по данной теме, решение которых приводит к общим приемам де я тельности.

Например, к приемам, способствующим применению пон я ти я «равнобедренна я трапеци я » можно отнести следующие [11]: - проведение высот из вершин меньшего осно вани я (при этом образуютс я два равных пр я мо угольных треугольника и пр я моугольник, рисунок 1.2); Рисунок 1.2 - проведение из вершины меньшего основани я отрезка, параллельного боковой стороне (трапеци я разбиваетс я на параллелограмм и равнобедренный треугольник, рисунок 1.3); Рисунок 1.3 - проведение из вершины меньшего основани я отрезка, параллельного диагонали трапеции (при этом образуетс я равнобедренный треугольник, рав новеликий трапеции, рисунок 1.4). Рисунок 1.4 Дл я актуализации каждого из приемов необходимо подобрать соответствующую задачу, решение которой не было бы громоздким. В систему упражнений полезно также включить задачи, при решении которых требуетс я доказать, что трапеци я я вл я етс я равнобедренной, т.е. на ис пользование различных признаков пон я ти я [17]. При этом необходимо учить школьников правильно отвечать на вопрос: по каким признакам можно распознать равнобедренную трапецию среди дру гих четырехугольников? (Например, по равенству диагоналей, углов при основании и др.) Естественно, формирование пон я ти я «равнобе дренна я трапеци я » будет продолжатьс я и в дальнейшем. Его содержание будет пополн я тьс я новы ми признаками и свойствами: - равнобедренна я трапеци я имеет одну ось сим метрии; - равнобедренную трапецию можно вписать в окружность; - при пересечении диагоналей равнобедренной трапеции получаютс я два подобных равнобедрен ных треугольника и др.

Покажем, как можно применить исследователь ский подход к формированию пон я ти я «квадратич на я функци я » [6]. В средней школе основное внима ние удел я етс я построению и чтению графика ква дратичной функции.

Решение же более сложных задач (к примеру, задач ЕГЭ с параметрами) требует от учащихс я владени я достаточно широким спе ктром ее свойств. В частности, знани я того, как вли я ют коэффициенты, вход я щие в формулу квад ратичной функции, на расположение ее графика относительно системы координат [11]. Исследование с целью отыскать такого рода зависимости можно провести в форме самосто я тель ной групповой работы. После выполнени я работы подвод я тс я итоги.

Учащиес я сообщают результаты своих исследований и с помощью учител я делают обобщени я . 1.1.4 Как быть с «нерабочими» определени я ми? Из вышесказанного вовсе не следует, что каждое пон я тие нужно вводить так основательно. В школь ном курсе математики имеютс я пон я ти я , которые традиционно привлекают внимание методистов. В частности, речь идет о таких пон я ти я х математиче ского анализа, как предел, непрерывность функции и производна я , определени я которых сложны и плохо усваиваютс я учащимис я [6]. Ученики не толь ко не понимают, но и не могут воспроизвести их по пам я ти. При этом они достаточно успешно ис пользуют свойства этих пон я тий в своей математи ческой де я тельности.

Иногда у учащихс я формируетс я неверное представление об изучаемых пон я ти я х, они путают их определени я со свойствами. Так, в книге Б. Ц. Б адмаева приводитс я пример с определением смежных углов [1]. Как показал проведен ный автором эксперимент, никто из учащихс я не смог воспроизвести его правильно. Все они считали, что смежные углы - это углы, сумма которых равна 180°. Тем не менее усвоение учащимис я этого пон я ти я никогда не вызывало нареканий. Дети успешно распознают смежные углы, опира я сь на нагл я дный образ, и используют их свойство в рассуждени я х. Можно привести еще немало примеров, когда ученики, не зна я определени я пон я ти я , умеют примен я ть последнее в де я тельности. Это касаетс я та ких пон я тий геометрии, как многогранник, ци линдр, конус и др. А в алгебре пон я тие «число», с которым реб я та работают ежедневно, вообще не определено. И это никого не смущает. Дело в том, что определени я этих пон я тий нерабочие, поскольку не примен я ютс я в рассуждени я х, при решении задач и нужны лишь дл я построени я теории пон я ти я , т.е. дл я логического упор я дочени я суждений о нем.

Учащиес я же успешно работают с пон я тием, основыва я сь на нагл я дном образе соответствующе го объекта, созданном порою задолго до того, как пон я тие начали изучать в школе.

Определени я предела и непрерывности функции на промежутке плохо усваиваютс я учащимис я не только потому, что сложны по структуре.

Исследо вани я показывают, что пон я тие непрерывности функции на промежутке в сознании школьников опираетс я на нагл я дные представлени я о поведе нии графика функции, а соответствующее опреде ление на практике не работает: все свойства непре рывных функций в дальнейшем разъ я сн я ютс я без опоры на него [20]. Определение производной в школе также я вл я етс я нерабочим. Врем я , затраченное учителем на разучивание алгоритма его применени я к выводу некоторых формул дифференцировани я , проходит дл я большинства учащихс я впустую, така я работа не способствует даже запоминанию формул. На наш взгл я д, в школе упом я нутые выше пон я ти я мате матического анализа можно ввести без строгих определений. А высвободившеес я врем я лучше уде лить формированию общего представлени я о но вых математических пон я ти я х, основыва я сь на зна нии их геометрического и физического смысла (в случае производной) или на нагл я дных представ лени я х учащихс я (в случае предела и непрерывности функции). Это будет честнее, чем требовать от учеников запоминани я недоступных их пониманию определений, которые в дальнейшем все равно не примен я ютс я [6]. В классах с углубленным изучением математики и на факультативных зан я ти я х в общеобразователь ной школе можно строить и теорию пределов, и теорию производной. Но даже в этом случае не стоит много времени удел я ть изучению определе ний (по той же причине). В математических классах необходимо рассказы вать о роли определени я в построении теории по н я ти я , а в тех случа я х, когда возможно, привлекать учащихс я к построению теории пон я ти я на основе другого его определени я [17]. Со способными реб я тами из обычных классов такую работу полезно прово дить на зан я ти я х кружка. И делать это лучше на геометрическом материале, поскольку в геометрии теории пон я тий выстроены аксиоматически. Так, после изучени я пон я ти я «равнобедренна я трапе ци я » можно предложить учащимс я самосто я тельно разработать его теорию, вз я в за основу, например, следующее определение: трапеци я называетс я равнобедренной, если ее диагонали равны.

Подобна я ра бота полезна как в методологическом плане, так и с точки зрени я развити я предметных умений школьников. Итак, подчеркнем, что правильное вве дение математических пон я тий, формирование каждого из них как системы взаимосв я занных упор я доченных суждений, разумное сочетание логического и содержательного аспектов в процессе изу чени я пон я тий, - все это способствует их успеш ному усвоению и применению в практической де я тельности. 1.2 Роль дефиниций в математической де я тельности учащихс я 1.2.1 Отыскание описательного определени я , не расшир я ющего объем пон я ти я На нагл я дном уровне пон я тие пр я моугольника хоро шо известно 12-летним ученикам. Они встречались с ним уже в начальных классах. Само слово «пр я мо угольник», обороты речи типа «форма пр я моугольника» они слышат и употребл я ют в повседневном общении. На уроке, который описан у С. Крыговской [14], учитель стремилс я упор я дочить знани я учеников о пр я моугольниках (по н я тие параллелограмма им было уже известно). Он спросил: «Какую геометрическую фигуру вы назовете пр я моугольником?» Из известных ученикам свойств пр я моугольников они пытались отобрать те, которые, по их мнению, характеризуют пр я моугольники наибо лее естественным образом. Среди ответов содержались следующие: «Пр я моугольник – это четырехугольник», «...это параллелограмм», «..это четырехугольник, имею щий пр я мые углы» (или «пр я мые углы и равные про тивоположные стороны», «пр я мые углы и равные диаго нали»). Ответы учеников – исходный материал дл я об суждени я , направл я емого учителем в нужное русло. Во врем я обсуждени я вы я снилось, достаточно ли сведений в каждом ответе, чтобы иметь полное представ ление о пр я моугольнике, надо ли включать в опреде ление все данные, считают ли учащиес я пр я моугольни ком такой объект, как квадрат.

Возникла возможность изменить ошибочные мнени я , провести обосновани я . При этом ученики овладевали полезными приемами анализа данных, подведени я итогов, выделени я условии и т. п. Но нахождение определений в процессе беседы и уточнени я позиции не расшир я ет области известных ученикам математических объектов [20]. Де я тельность учител я и учащихс я выступает здесь как средство упор я дочени я некоторых фактов, развити я математической речи, анализа ситуаций.

Примен я ть этот прием введе ни я определени я , разумеетс я , можно лишь в случае, если ученики активно участвуют в обсуждении, и при условии, что такой процесс вызывает живой интерес класса, как это было на уроке, где проводилось опи санное выше обсуждение.

Ученики спорили, сравнивали ответы, приводили контрпримеры, сопровождали их ри сунками на доске. 1.2.2 Формулировка определени я путем обобщающего описани я Расширение известного ученикам круга математиче ских пон я тий в р я де случаев можно св я зать с нахож дением определени я путем обобщающего описани я . Приведем несколько примеров [14]. а) На п я том году обучени я ученики знаком я тс я с по н я тием выпуклой фигуры. В одном из классов это бы ло организовано так.

Рассматривались контурные кар ты нескольких вымышленных стран.

Ученики отвечали на вопросы: «Всегда ль можно соединить две точки страны на карте пр я мым путем, не пересекающим гра ницу?» По этому признаку ученики разделили страны на два типа: безопасные и опасные.

Жители безопас ной страны могут, не покида я ее, добратьс я по пр я мой из любой точки страны в любую другую; дл я опасной страны такого пути может не быть.

Учитель ввел термин выпукла я фигура дл я изображений безопасных стран. После небольшого числа упражнений ученики научились различать выпуклые и невыпуклые фигуры.

Теперь реб я т попросили написать письмо другу — уче нику того же класса (ученики обмениваютс я письмами попарно) и рассказать в нем, как надо понимать выра жение выпукла я фигура.

Оказалось, что текст своего письма многим пришлось дополн я ть устным разъ я сне нием. Реб я та были довольно критически настроены по отношению к чужим формулировкам, так что возник шее обсуждение получилось живым и поучительным.

Анализ формулировок привел к интересным заключе ни я м. В письмах сказались разные уровни владени я вы разительными средствами я зыка, которые выделил Г. Фрейденталь [33]. Например, встречалс я « я зык рисун ков»: в качестве объ я снени я ученик поместил рисунки выпуклых и невыпуклых фигур. По я вл я лись и не всег да удачные попытки использовать « я зык структур отношений». В данном случае это выражалось в том, что рисунок выпуклом или невыпуклой фигуры дополн я лс я изображени я ми отрезков, соедин я ющих некоторые точки этих фигур.

Попадались и правильно построенные опи сани я , например: «Из одной точки фигуры в другую всегда можно провести отрезок, содержащийс я в выпук лой фигуре. В невыпуклой фигуре бывает, что это невозможно». Видно, что в этом ответе отражен опыт «путешествий» по вымышленным странам.

Отметим так же использование кванторов «всегда», «бывает». Нет нужды на данном уровне освоени я пон я ти я стре митьс я к полной формализации. Здесь самое важное – переход от рассмотрени я исходного сюжета к матема тическим представлени я м.

Введение формального определени я , его усвоение, расширение и уточнение объема введенного пон я ти я можно провести только в дальнейшей беседе и при умелом руководстве ею.

Допустим, учитель спрашивает: «Выпукла я ли фигура отрезок?» Некоторые ученики отвечают отрицательно: «Отрезок не выпуклый, он пр я мой». Тогда учитель задает второй вопрос: «Можно ли каждую его точку соединить с лю бой другой отрезком, целиком в нем содержащимс я ?» Ответ, конечно, утвердителен. «Значит... — учитель де лает многозначительную паузу, подготавлива я учеников к парадоксальному дл я них выводу,— отрезок тоже вы пукла я фигура». В такой беседе учитель нацеливает ре б я т на формальный путь применени я ими же предложен ных определений. Это пока что еще очень осторожный шаг вперед в направлении осознани я роли определений в математике [34]. б) С периодическими функци я ми 14-летние ученики еще не встречались. На одном из уроков учитель решил дать им представление о таких функци я х до система тического изучени я тригонометрии, так как реб я та обычно отождествл я ют класс периодических функций с классом функций тригонометрических.

Учитель поставил задачу построить схематически графики функций: 1) 2) 3) После построений реб я та заметили, что графики име ют общую важную особенность. Один из учеников дал ее интересное описание: можно сделать шаблон части графика; в первом случае длина шаблона равна 1, во втором – 2, в третьем – 6; если передвигать его вдоль оси абсцисс, то можно изобразить весь график. Дл я функции достаточно перемещать шаблон на 1 в обоих направлени я х, дл я - на 2 в обоих направлени я х, дл я - на 6 в положительном направлении.

Учитель попросил описать выделенное свойство, пользу я сь не геометрическими, а арифметическими по н я ти я ми, т. е. как свойство функций, а не их графиков. Затем он сообщил, что рассматриваемое свойст во называетс я периодичностью, и попросил дать опре деление периодической функции (в классе речь шла только о периодических числовых функци я х). Так ма тематический мир ученика обогатилс я новыми объек тами [14]. Работа над определением на данном этапе не может считатьс я законченной.

Следует убрать несущественные признаки, св я занные с конкретными примерами, рас смотреть контрпримеры, поработать над текстом. Осо бое внимание надо обратить на то, чтобы основанием дл я полведени я итогов служила формулировка определени я , данна я самими учениками, формулировка, вырабо танна я в ходе обсуждени я , посто я нных уточнений и исправлений. Еще раз подчеркнем важный момент ана лизируемого подхода: ученики в качестве данных име ли геометрические объекты (графики функции), а опи сание требовалось получить на ином я зыке – арифме тическом.

Замена я зыка я вл я етс я здесь некоторым эле ментом формализации, доступным дл я 14-летних учеников [23]. Обратим внимание на один общий вопрос. В описываемых примерах учитель не шел по пути непосредственного предъ я влени я четкого, окончательного текста.

Напротив, несмотр я на заведомые трудности, он искал подход я щие дидактические приемы, направленные на конструирование учениками собственного опреде лени я , ибо оно и усваиваетс я , и запоминаетс я легче.

Такими приемами служили: разложение сложных пред ставлений на отдельные простые ситуации, побужде ние учеников к активному анализу конкретных образ ных ситуаций в сочетании с последующим применени ем к ним уже известного математического аппарата.

Использовались также идеализаци я , экстрапол я ци я , преобразование определени я к виду цепочки шагов, об легчающих его применение и усвоение. Такой способ обучени я целесооб разно примен я ть на любом уровне, если есть необходимость в уточнении научного пон я ти я [25]. Нам не раз приходилось наблюдать такой момент: ученик, харак теризуемый как неспособный, который и сам призна вал себ я таким, при работе над определением смог преодолеть весьма существенный барьер в формировании математического мышлени я . При этом процесс был настолько естественным, что ученик барьера не заметил и оперировал обобщенными математическими пон я ти я ми так же свободно, как в начальной школе он училс я правильно жестикулировать, рисовать и чи тать. 1.2.3 Формулировка определени я посредством конструктивного описани я Этот способ введени я пон я ти я содержит две ха рактерные черты [14]: 1) исходным пунктом служат нечет кие очертани я , перва я иде я об объекте, который в дальнейшем станет предметом определени я ; формули ровка определени я я вл я етс я не столько описанном чегото готового, сколько очередной модификацией объекта, возникающего «на глазах»; 2) человек, дающий опре деление, обладает некоторой свободой в предъ я влении отдельных частей всей конструкции. При простом описании ученик выбирает одно из известных ему свойств определ я емого объекта и счита ет его условием в дефиниции. При обобщенном описании это условие про я вл я етс я в предлагаемых к рассмотрению примерах, а затем оно используетс я как общее условие в дефиниции. В конструктивном же описании условие в дефиниции даетс я самим уче ником.

Приведем пример этого процесса, который наб людали в классе 14-летних учеников [16]. Учитель задал вопрос: «На плоскости даны точка и множество. Что следует понимать под рассто я нием от данной точки до данного множества?» Ученики спорили, делали рисунки, предлага я разные подходы. Все они стремились к тому, чтобы описать «самый короткий путь от точки до фигуры». Наконец один из учеников представил си туацию следующим образом: «Имеетс я круг с цент ром в данной точке. Круг растет, как мыльный пузырь, расшир я етс я и расшир я етс я , пока не коснетс я множе ства.

Радиус этого круга и есть рассто я ние от его центра до данного множества». В этот момент вмешал с я учитель и предложил применить это определение к различным случа я м: а) фигура представл я ет собой внутренность некоторого круга, а точка находитс я вне этого круга; б) фигура произвольна, а точка принад лежит этой фигуре; в) фигура – внутренность какого-то квадрата, а точка выбрана на контуре квадрата. Сопоставление привело учеников к последовательным уточ нени я м, усовершенствованию текста определени я . В конце концов, предложена дефиници я : «Пусть существу ет круг с центром в данной точке и не содержащий внутри себ я точек данного множества. Тогда рассто я ние от данной точки до данного множества – радиус самого большого такого круга. Если же такого круга не существует, то рассто я ние от точки до фигуры рав но нулю». Конечно, это еще не очень удачное определение. Но на данном этапе обучени я , когда ученики не знают пон я ти я границы числового множества, а стиль препо давани я геометрии нав я зывает им определенные обра зы в качестве исходных, эта их дефиници я может счи татьс я не только формально верной, но и адекватной тому, что желали назвать рассто я нием от точки до множества. (Заметим, что приведенное определение по отношению к плоскости эквивалентно определению, ос нованному на пон я тии нижней грани числового множе ства) [14]. Дл я учеников было очевидно существование «са мого большого» круга, не содержащего внутри себ я точек множества, дл я случа я , когда данное множество непусто, а центр круга не принадлежит ни данному множеству, ни его краю (т. е. замыканию). Представленна я ситуаци я отличаетс я от предыдущих степенью свободы учеников в их высказывани я х о предмете изучени я , в изменении точек зрени я , в ходе которого «проигрывались» различные определени я , про исходило уточнение интуиции, св я занной очень общим пониманием рассто я ни я как меры «самого короткого пути. 1.2.4 Формулировка определени я , основанна я на аналогии и переносе Разнообразные про я влени я инициативы учеников в обсуждении определений можно наблюдать при пере ходе от планиметрии к стереометрии.

Примен я я к из вестным плоским объектам (фигурам и преобразова ни я м) «операцию увеличени я размерности», учащиес я конструируют их пространственные аналоги.

Приходилось наблюдать, как 17-летние ученики самосто я тельно разрабатывали пон я ти я , доказывали теоремы, относ я щиес я к трехмерной мере Жордана, опира я сь на аналогию с известной им плоской теорией меры (размерность поднимаетс я путем замены квадратов на кубы) [14]. Также самосто я тельно ученики определ я ли р я д топологических пон я тий (окрестность точки, внутренность множества, область), замен я я круг ша ром, а окружность сферой. Но и ученики младше 17 лет при изучении локальнодедуктивного курса геометрии также могли производить подобный перенос.

Например, в ходе беседы они смогли преобразовать определение параллельных пр я мых (на плоскости) таким образом, что оно стало отвечать их представлению о параллельности в пространстве. В ходе такой беседы школьники определили перпендикул я рность пр я мой и плоскости, перпендикул я рность плоскостей. Така я де я тельность имеет большую общеобразовательную цен ность.

Ученики начинают понимать, что некоторые оп ределени я можно без изменений перенести из планимет рии в стереометрию (отрезок, луч). Они вид я т также, что при переходе из плоскости в пространство некото рые определени я нужно дополнить условием «лежать в плоскости» (окружность, шестиугольник). Но есть и такие определени я , которые, будучи «перенесенными в пространство» без изменений, привод я т к более общим пон я ти я м (ломана я ) [3]. В некоторых случа я х возможны различные способы переноса.

Демонстраци я этих случаев приводит учени ков к мысли об условном характере определений. На пример, если считать тетраэдр аналогом треугольника и «подн я ть по размерности» медиану грани тетраэд ра, то получитс я сечение тетраэдра плоскостью, прохо д я щей через медиану грани и противоположную верши ну.

Ученики, однако, не решаютс я на эту операцию, хот я легко соглашаютс я с тем, чтобы назвать медианой тетраэдра отрезок, концы которого - вершина тетра эдра и центр т я жести противоположной грани. Тогда из теоремы о делении медиан треугольника точкой их пересечени я , «поднима я размерность» получаем ана лог – теорему о делении медиан тетраэдра точкой их пересечени я в отношении 1:3. Высказанную гипотезу следует подтвердить доказательством.

Учитель должен ограничить свое участие в такого рода рассуждени я х. Ему необходимо следить лишь за тем, чтобы беседа имела деловой характер, отсекать несерьезные и бессмысленные высказывани я . Особую роль играет участие в таких обсуждени я х слабоуспе вающих учеников, которые могут про я вить в них свою творческую активность [14]. 1.2.5 Формулировка определений на основе классификации Классификаци я естественно приводит к определению.

Покажем это на примере урока с 15-летними ученика ми, с которыми предварительно было изучено пон я тие изометрии как преобразовани я «плоскости в плоскость» [14], сохран я ющего рассто я ни я , а также пон я тие осевой сим метрии как особого рода изометрии, имеющей ровно одну пр я мую неподвижных точек.

Другие примеры изо метрии с учащимис я еще не рассматривались в основ ном курсе геометрии, но из пропедевтического курса они знали о физическом движени я , имели нагл я дные представлени я о параллельном переносе и повороте на плоскости. На уроке учитель объ я снил, что люба я изометри я плоскости я вл я етс я осевой симметрией или результатом последовательного выполнени я двух или трех осевых симметрии. Эту теорему он предложил использовать дл я классификации множеств изометрий на основе ко личества и взаимного расположени я осей симметрии.

Попытка достигнуть цель привела к возникновению основ будущей классификации (рисунок 1.5). Рисунок 1.5 – Классификаци я изометрий Учитель подчеркнул, что некоторые из позиций этой таблицы могут содержать одинаковые преобразовани я . Классификаци я нуждаетс я в исключении таких случа ев. На чертежах учащиес я рассмотрели поочередно все позиции и пришли к следующим выводам: I – множест во осевых симметрий; II – множество параллельных переносов; III – множество нетождественных поворотов.

Множества IV и VII оказались пустыми.

Учащиес я уви дели, что композици я трех осевых симметрии с ос я ми, имеющими общую точку или параллельными, я вл я етс я осевой симметрией.

Множество V ученики описали как состо я щее из последовательного выполнени я параллельного переноса и осевой симметрии.

Относительно мно жества VI было установлено, что оно состоит из поворотов с последующей осевой симметрией.

Дальнейшее исследование, однако, показало, что каждый поворот с последующей осевой симметрией можно представить как параллельный перенос с последующей осевой симметрией. В конечном итоге класси фикаци я множества изометрий свелась к позици я м I , II , III и V (причем позицию V надо дополнить условием , которые определили нечто вроде «геометрии сим метрии» [25]. Учитель задал вопрос: «Как можно было бы определить в рамках этой классификации («нашей гео метрии») параллельный перенос и поворот?» В ответ ученики сформулировали определение, основанное на композиции осевых симметрии. Такое определение я ви лось одним из про я влений математизации, направлен ной на использование прин я той классификации. 1.2.6 Формулировка определени я путем выделени я частного случа я Старшеклассникам, познакомившимс я с тетраэдром, учитель предложил выделить особые, интересные, по их мнению, виды тетраэдров.

Поступили предложени я : - равнобедренный тетраэдр, то есть тот, у которого в од ной вершине сход я тс я три равных ребра (аналог рав нобедренного треугольника); - равносторонний тетраэдр, значит, имеющий только равные ребра (аналог равностороннего треугольника); - пр я моугольный тетраэдр, имеющий такой трехгран ный угол, у которого каждые два ребра перпендику л я рны (аналог пр я моугольного треугольника). Учитель сказал, что эти определени я в математике не прин я ты, но выделенные учениками формы заслу живают внимани я , поскольку изучение таких тетраэд ров приводит к интересным наблюдени я м.

Например: в пр я моугольном тетраэдре квадрат площади грани, про тивоположной трехгранному углу с пр я мыми плоски ми углами, равен сумме квадратов площадей осталь ных граней. Это аналог теоремы Пифагора дл я тет раэдров. 1.2.7 Формулировка определени я посредством обобщени я известного определени я Объ я сн я я на уроке пон я тие предела функции в точке, учитель рассмотрел функцию и сравнил ее с функцией Дирихле:

	при рациональном
при иррациональном.

Учитель со общил, что в математике имеютс я соответствующие тер мины, и назвал их, а определени я предложил сформу лировать самосто я тельно.

Модифициру я определение предела функции на промежутке путем «ослаблени я » соответствующих условий, учащиес я получили форму лировку нового определени я – предела функции в точке.

Приведенные примеры не исчерпывают всех ситуаций, способствующих формированию у уча щихс я умени я давать определени я пон я тий. Они, одна ко, показывают возможности включени я учеников в разнообразную де я тельность, заслуживающую внимани я и учителей, и методистов.

Сказанное не означает, что при обучении нельз я знакомить учеников с готовы ми определени я ми.

Наоборот, оба пути равноправны. В любом случае правильно организованна я де я тельность учеников служит дл я них школой применени я я зыка математики, элементов математического метода, некоторых эвристических приемов.

Описанные приемы работы с определени я ми в боль шей мере относ я тс я к старшим классам средней шко лы. Но осторожно вводить соответствующие методиче ские приемы можно и раньше. Не следует только стре митьс я к преждевременной формализации и настаи вать на этих приемах в случае, когда они не оправ дывают себ я . Это относитс я также и к самосто я тель ной формулировке определений учениками.

Недостат кам, присущим чрезмерной формализации, не следует противопоставл я ть сложности, св я занные с организацией математического творчества. К успеху может приве сти только разумное сочетание формализованных и эв ристических сторон в обучении математике. 1.3 Формирование математических пон я тий у учащихс я Цель этого пункта – показать, кик конструируетс я собственно методическа я концепци я формировани я математических пон я тий, котора я отлична как от логических, так и от психологических теорий образовани я пон я тий, хот я при ее конструировании используютс я и логика, и психологи я [28]. Рассмотрение этого вопроса важно и потому, что умственное развитие, в сущности, и есть способность переосмысливать старые и генерировать новые пон я ти я . В контексте сказанного приоритетной проблемой теории и методики обучени я математике я вл я етс я проблема формировани я пон я тий.

Обратимс я прежде к логическим теори я м, описывающим процесс формировани я пон я тий.

Опишем три основные концепции [28]. I концепци я . Процесс конструировани я пон я ти я протекает как поиск всех необходимых условий, которых достаточно дл я однозначного определени я требуемого класса объектов. Приме р.

Каждое из условий: 'быть четырехугольником', 'иметь равные стороны', 'иметь равные углы' — только необходимо дл я определени я квадрата. Люба я пара названных условий также только необходима. Но все вместе они необходимы и достаточны дл я определени я класса квадратов. При определении пон я тии часто используют ближайшее родовое по отношению к нему пон я тие. Таким пон я тием дл я квадрата я вл я етс я пон я тие пр я моугольника (ромба). Учитыва я это, можно дать более экономное определение квадрата как пр я моугольника с равными сторонами или ромба — с равными углами. В контексте данного логического подхода содержание пон я тие отождествл я етс я с его о пределением [20]. II концепци я . Пон я тие рассматриваетс я как логическа я функци я , заданна я на множестве суждений и принимающа я значени я 'истинно' или 'ложно' [7]. Образование пон я ти я заключаетс я в поиске его необходимых условий. В данной концепции единицей содержани я пон я ти я выступает отдельное необходимое условие, а потому содержание пон я ти я не совпадает с его определением. III концепци я . Под содержанием пон я ти я понимают сообщаемую им (семантическую) информацию [23]. Единицей содержани я выступают классы объектов, исключаемые пон я тием из универсума, т.е. из множества объектов, в терминах которого определ я йс я рассматриваемое пон я тие [29]. Примеры 1 Пусть И — множество натуральных чисел, а – условие, определ я ющее делимость натурального числа на 2. Данное условие делит универсум, т.е. множество натуральных чисел, на два взаимоисключающих и совместно исчерпывающих универсум класса: И где А – множество чисел, дел я щихс я на 2; - множество чисел, не дел я щихс я на 2. Условие а определ я ет пон я тие « множество четных чисел». Это пон я тие исключает класс , поэтому содержание пон я ти я «множество четных чисел» равно классу его составл я ет класс А. 2 Пусть И – множество четырехугольников, а – условие «иметь равные стороны», в – «иметь равные углы». Условие а разбивает универсум (множество И) на класс «четырехугольники с равными сторонами» (А ) и его дополнение — класс « четырехугольники с неравными сторонами» ( . Условие в разбивает множество А на классы: «четырехугольники с равными сторонами и равными углами» (В ) и «четырехугольники с равными сторонами и неравными углами' ( ). Класс (четырехугольники с неравными сторонами) условием в разбиваетс я на класс С – «четырехугольники с неравными сторонами и равными углами» и класс — «ч етырехугольники с неравными сторонами и неравными углами». Содержание пон я ти я «квадрат» эквивалентно сумме классов . Объемом пон я ти я я вл я етс я класс В. У своить пон я тие «квадрат» - это, прежде всего, уметь распознавать четырехугольники, образующие классы В, , С, , выводить следстви я из принадлежности четырехугольника одному из указанных классов и строить четырехугольники, относ я щиес я к данным классам. В процессе выполнени я перечисленных действии усваиваетс я информаци я , выдел я юща я квадраты из множества четырехугольников, т.е. словесна я формулировка определени я пон я ти я [13]. Наблюдени я за работой учителей математики привод я т к выводу о том, что формирование математических пон я тий в школе не вписываетс я в чистом виде ни в одну из описанных выше логических концепций. Но элементы каждой из них присутствуют в практике обучени я математике. Такое положение можно объ я снить тем, что логические концепции сами по себе далеко не исчерпывают всех составл я ющих процесса формировани я пон я ти я . Они не могут объ я снить учителю, каковы этапы формировани я пон я ти я , какие умственные действий адекватны каждому этапу. Эти вопросы исследуютс я в психологии, где, в частности, отмечаетс я значимость овладени я следующими умственными действи я ми: подведением объекта под пон я тие (распознавание), отысканием следствий (из факта принадлежности объекта пон я тию). Так, Н.Ф.Та лызина к компонентам указанных умственных действий относит: перечисление необходимых и достаточных свойств объектов данного класса; установление того, обладает ли данный объект выделенными свойствами или не обладает; заключение о принадлежности объекта к данному пон я тию; выведение следствий; классификацию; конструирование объектов с учетом варьировани я отношений [32]. Р я д психологов (Н.А. Мен чи нска я , Е.Н. Кабанова - Меллер и др.) рекомендуют при формировании пон я тий осуществл я ть варьирование несущественных признаков, тем самым способству я усвоению существенных.

Овладение действием предполагает адекватную ему задачу, поэтому конструирование системы задач, ориентированных на усвоение пон я ти я , я вл я етс я весьма важной проблемой дл я такой науки, как методика преподавани я математики.

Однако не все авторы учебников математики дл я школы должным образом понимают эту проблему.

Рассмотрим например, пон я тие 'внешний угол треугольника'. Ни в учебнике Л.С. Атанас я на и др. 'Геометри я 7–9' [8], ни в учебнике Л.С. Анатас я на 'Геометри я 10–11' [9] нет задач на распознавание и конструирование в нешних углов треугольника.

Причем как в одном, так и в другом учебнике приведены задачи, решение которых основано на теореме о внешнем угле треугольника.

Возникает вопрос: будут ли ученики, обучающиес я по названным учебникам, допускать ошибки в распознавании внешнего угла треугольника? С целью получени я ответа было проведено наблюдение [28]. На уроке опытна я учительница много внимани я удел я ла построению внешнего угла треугольника, причем использовала не только стандартные ситуации.

Ученики строили и углы, расположенные под горизонтальной стороной треугольника. В конце урока наблюдающий пред ложил реб я там ответить на вопрос: 'Какой из углов - 1 , 2 или 3 — я вл я етс я внешним углом треугольника ABC на рисунке 1.6 ?' Рисунок 1.6 – Распознавание внешнего угла треугольника Лишь один из 33 учащихс я класса назвал угол 3. Причина я сна: ученики строили объекты , принадлежащие данному пон я тию, не выпол нив предварительно ни одного упражнени я на распознавание объектов, т.е. на подведение под пон я тие [28]. С точки зрени я логики в качестве определени я могут быть прин я ты различные системы необходимых и достаточных свойств пон я ти я . Поэтому в методике возникает вопрос о выборе такой системы.

Например, пон я тие параллелограмма в различных учебниках геометрии определ я етс я по-разному: четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны ; пересечение двух полос с непараллельными кра я ми; четырехугольник, имеющий центр симметрии, и т.д. С точки зрени я методики, приведенные определени я неравноценны. Они обладают разной степенью нагл я дности, т.е. определ я емый объект по-разному просматриваетс я через определени я . Учитыва я значимость образного компонента в процессе формировани я пон я ти я , методисты должны заключить, что в школьном курсе математики желательны такие определени я , которые позвол я ют воображению легко конструировать образы определ я емых объектов. С точки зрени я указанного требовани я наиболее удачным я вл я етс я традиционное определение параллелограмма. Такой вывод согласуетс я с результатами психологических исследований: в свернутом виде распознавание может осуществл я тьс я по внешне выраженным, нагл я дным признакам используемых объектов, а не по тем признакам, по которым оно осуществл я лось на уровне развернутого выполнени я действи я [20]. Опишем теперь методические требовани я к формированию пон я ти я [28]. Начальным этапом я вл я етс я мотиваци я . Сущность этого этапа заключаетс я в подчеркивании значимости рассматриваемого пон я ти я , и возбуждении интереса к нему.

Мотиваци я может осуществл я тьс я как посредством привлечени я средств нематематического содержани я , т ак и в ходе выполнени я специальных упражнений, объ я сн я ющих необходимость развити я математической теории.

Например, по я вление обыкновенных дробей, как правило, мотивируетс я потребност я ми практики.

Введение смежных углов можно объ я снить рассмотрением не только отдельных фигур, но и их объединений.

Рассмотрение взаимного расположени я пр я мой и окружности приводит к трем случа я м, один из которых характерен тем, что окружность и пр я ма я имеют только одну общую точку.

Указанный случай и обусловливает введение пон я ти я касательной к окружности.

Следующий этап - вы я вление существенных свойств пон я ти я , которые состав я т его определение. Он реализуетс я в основном посредством упражнений [28]. Например: 1 Арифметическа я и геометрическа я прогрессии могут быть введены путем выполнени я упражнений на запись числовых последовательностей, заданных определенными свойствами , либо на вы я вление свойств, которыми обладают указанные последовательности. 2 Ознакомление с существенными свойствами трапеции может осуществл я тьс я следующим образом.

Заранее готовитс я рисунок 1.7. а) б) в) г) д) е) ж) и) к) Рисунок 1.7 – Задание к ознакомлению с существенными свойствами трапеции Рассматрива я этот рисунок, учащиес я должны ответить на вопрос: 'Какие из данных фигур имеют общие свойства?' Реб я та замечают, что в четырехугольниках а, б, г, д, и, к две противоположные стороны параллельны, а две другие - нет. После этот им сообщаетс я , что такой четырехугольник называетс я трапецией.

Введение пон я ти я трапеции может быть осуществлено и путем выполнени я упражнений на построение различных четырехугольников, в том числе и четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие - нет.

Итогом этого этапа я вл я етс я формулировка определени я пон я ти я . Еще раз подчеркнем, что на рассмотренном этапе термин обозначает не столько пон я тие, сколько соответствующие нагл я дные представлени я . На этапе усвоени я объектом изучени я должно стать каждое существенное свойство, используемое в определении.

Обеспечиваетс я это требование с помощью упражнений, в частности на распознавание объектов, принадлежащих пон я тию. Пусть, например, а и в— видовые отличи я пон я ти я А , соединенные конъюнктивной св я зкой, т.е. . Тогда условие непринадлежности пон я тию А имеет вид: . Зна я условие принадлежности и непринадлежности пон я тию, нетрудно сконструировать упражнени я , формирующие действие распознавани я объектов, принадлежащих пон я тию. Это упражнени я вида Примеры Проиллюстрируем конструирование упражнении н а примере пон я ти я биссектрисы угла [20]. Логическа я структура определени я этого пон я ти я такова:

Луч ОС - биссектриса угла А ОВ	(1) луч ОС исходит из вершины угла АОВ
(2) луч ОС делит угол пополам

Необходимы комплексные упражнени я , выполнение которых основано не только на использовании существенных свойств пон я ти я , но и на отыскании следствий.

Примеры 1 Известно, что некоторый луч исходит из вершины угла.

Следует ли отсюда, что этот луч я вл я етс я биссектрисой угла? Если нет, то измените условие так, чтобы из него следовало, что луч я вл я етс я биссектрисой данного угла. 2 Луч ОС исходит из вершины угла А ОВ, а A О C В. Явл я етс я ли луч ОС биссектрисой угла А ОВ? Если нет, измените условие так, чтобы луч ОС я вл я лс я биссектрисой угла А ОВ. Следующий этап — использование пон я ти я в конкретных с ит уац и я х [28]. На этом этапе, прежде всего, осуществл я етс я знакомство со свойствами и признаками пон я ти я , с его определени я ми, эквивалентными прин я тому; используютс я изученные свойства и признаки пон я ти я . Учащиес я усваивают умение переходить от пон я ти я к его существенным свойствам и обратно, переосмысливают объекты с точки зрени я других пон я тий, в частности учатс я переосмысливать элементы чертежа с точки зрени я другой фигуры и т.д. Здесь важно использовать блоки задач, объединенных какой-либо общей идеей [20]. Упор я дочение задач может быть осуществлено посредством обобщени я и конкретизации, привлечени я аналогии, взаимно обратных задач. Блоки задач могут конструироватьс я следующими способами: а) результаты решени я предыдущей задачи используютс я в решении последующей; б) результаты решени я предыдущей задачи используютс я в условии последующей; в) предыдущие задачи я вл я ютс я элементами последующей; г) решение совокупности задач осуществл я етс я одним и тем же методом. С блоками задач можно ознакомитьс я по стать я м Г.И. Саранцева [27]. Организаци я за дач в соответствии с указанными направлени я ми возможна даже в рамках действующих учебников, однако полна я их реализаци я требует существенной доработки задачного материала, как в его содержании, так и в последовательности расположени я . При этом оказываетс я , что многие задачи могут быть со ставлены самими учащимис я , что важно в плане интеллектуального развити я учеников. В изучении любого учебного предмета, и особенно математики, важен этап систематизации материала, когда вы я сн я етс я место данного пон я ти я в системе других пон я тий. Это достигаетс я следующими пут я ми [28]: - установлением св я зей между отдельными пон я ти я ми, теоремами; - разноплановой систематизацией материала по различным основани я м; - обобщением пон я ти я ; - конкретизацией пон я ти я . В качестве средств представлени я информации в сжатом виде используют таблицы, вопросники, графики, рисунки, схемы, обобщающие рефераты и т.д.

Учитыва я , что упражнени я я вл я ютс я основным средством формировани я пон я тий в средней школе, сопоставим в виде таблицы каждый этап формировани я пон я ти я и соответствующие ему виды упражнений (таблица 1): Таблица 1 – Э тапы формировани я пон я ти я и соответствующие ему виды упражнений

Этапы формировани я пон я ти я	Упражнени я , реализующие их
Мотиваци я введени я пон я ти я	Упражнени я на применение изученных пон я тий и теорем Упражнени я практического характера
Выделение существенных свойств пон я ти я	Упражнени я на построение объектов, удовлетвор я ющих указанным свойствам
Усвоение логической структуры определени я пон я ти я	Упражнени я с модел я ми фигур Упражнени я на распознавание объектов, принадлежащих объему пон я ти я Упражнени я на выделение следствий из определени я пон я ти я Упражнени я на дополнение условий (распознавание и выведение следствий)
Применение пон я ти я	Упражнени я на составление родословной пон я ти я
Установление св я зей изучаемого пон я ти я с другими пон я ти я ми	Упражнени я на применение пон я ти я в различных ситуаци я х Упражнени я на систематизацию пон я тий

Поэтому очень важно после формировани я математических пон я тий продиагностировать уровень сформированности. 2 Экспериментальные исследовани я при диагностике математических пон я тий у учащихс я 2.1 Значение вопроса при диагностике математических пон я тий у учащихс я на уроках математики Учител я на уроках много задают вопросов учащимс я . Тем самым они преследуют несколько целей [30]: - активизируют внимание учащихс я всего класса, - вы я сн я ют знание учебных тем, - подсказывают верный ход решени я задачи, - уточн я ют ответы учащихс я . Но продуманна я и точна я постановка вопроса может служить также диагностике математических пон я тий у учащихс я . По я сню мысль на нескольких при мерах [31]. Урок геометрии в IX классе. Тема «Абсолютна я вели чина и направление вектора». Первый час по теме от водилс я изложению нового материала. На втором часу — семинар. Идет опрос по всем определени я м и теоремам. Цель учител я — вы я снить, насколько прочно учащиес я усвоили об я зательные сведени я . Вопросы учител я требуют от учащихс я не рассуждений, а знани я формули ровок: Какие полупр я мые называютс я одинаково направлен ными? Сформулируйте и докажите теорему об одинаково на правленных полупр я мых. И т. д. Но уже здесь можно ставить вопросы, ответа на ко торые ученики не найдут в готовом виде в учебнике. Им нужно хорошо понимать смысл определений, их св я зь и назначение.

Например: дл я чего мы вспомнили полу пр я мые в теме о векторах? Предполагаемый ответ: так как направленность векто ров определ я етс я через направленность полупр я мых – рождает новый вопрос: а почему мы не можем опреде лить направленность векторов через параллельный пере нос, как мы это сделали дл я полупр я мых? Ответ требует уже серьезных размышлений. Мы должны сравнить вектор с полупр я мой.

Только ли одинаково на правлены будут векторы, если они совмест я тс я парал лельным переносом? Имеет ли длину полупр я ма я ? А по чему нельз я определить направленность через пр я мые, которые будут совмещатьс я при параллельном переносе? Подобные вопросы углубл я ют пон я ти я учащихс я о векторах, раскрывают структуру построени я математических пон я тий [31]. На уроке после темы «Координаты вектора» жела тельно вновь повторить определени я и хот я бы формулировки всех теорем о векторах. Нужно помнить, что дл я учащихс я это не жизненно необходимые знани я . Дл я них они инородны и быстро забываютс я . Но вопросы уже можно формулировать в другом виде.

Например, после вопроса на повторение: какие векторы называютс я равными? — можно спросить: А при доказательстве каких теорем используетс я определение равенства векторов? Чтобы ответить на вопрос, даже только сформулировав теоремы, надо хорошо знать, а главное, понимать дока зательство. Так что знание доказательств можно прове рить, не выслушива я всего доказательства. Кроме того, у учащихс я систематизируютс я знани я , что делает их более осмысленными и прочными.

Рассмотрим еще пример. Здесь постановка вопросов носит несколько иную смысловую нагрузку [31]. Урок математики в V классе. Тема «Вычитание». На этом уроке реб я та впервые встречаютс я с точным ма тематическим определением.

Желательно заострить на этом моменте внимание учащихс я , чтобы создать верный импульс в развитии математического мышлени я . Вычесть из одного числа другое реб я та могут. Этому их учили с I класса. Но вот как они отвечают (и не могут ответить иначе) на вопрос: что значит: из числа а вычесть число в?: это значит: из а вычесть в; это значит: уменьшить число а на в единиц; это значит: найти разность чисел а и в. Они понимают, как найти разность чисел а и в , но не отвечают на поставленный вопрос.

Запишем определение: вычесть из числа а число в — значит найти такое число х, которое в сумме с в дает а.

Вопрос к ученикам: почему это довольно сложное предложение можно считать определением, а ваши ответы – нет? Молчание.

Учитель: Когда вы пытались определить вычитание, вы употребл я ли слова, которые сами требуют определени я . Например: «отн я ть», «уменьшить», «найти разность». А через какое пон я тие определ я етс я вычитание? Кто-то догадываетс я : - Через сумму.

Учитель: Очень хорошо! Верно! Вычитание определ я етс я через сложение. А сложение? Следуют ответы, но неверные.

Наконец: - Ни через что не определ я етс я . Учитель: Верно.

Сложение – одно из первоначальных пон я тий математики и понимаетс я нами на основе нашего жизненного опыта. А все остальные арифметические действи я так или иначе (деление – косвенно) определ я ютс я через сложение. Еще хочетс я привести пример типичных ошибок учащихс я , их вы я вление и исправление [1]. Учитель показывает чертеж пр я моугольного треугольника, пр я мой угол которого изображен при вершине, а не у основани я , как учащиес я привыкли видеть в учебниках.

Оказалось, что отдельные ученики (7-й класс) не узнают в чертеже пр я моугольный треугольник, хот я на чертеже указано. Что угол при вершине равен 90 0 , а остальные два угла равны соответственно 60 0 и 30 0 . Они заход я т в тупик: вроде бы не похож треугольник на пр я моугольный, а то же врем я есть у него угол 90 0 . причина затруднени я – расхождение в их сознании пон я тийной и образной характеристик объекта, т. е. хот я и наличествует пр я мой угол, но на чертеже дано «не то». Недоумение и ошибочный ответ вызваны тем, что определение пон я ти я и нагл я дный образ объекта (по чертежу в учебнике) запомнились, т. е. все это заучено, но осталось неусвоенным научное содержание геометрического пон я ти я «пр я моугольный треугольник», у которого один существенный (необходимый и достаточный) признак – наличие пр я мого угла, а где он может находитс я на чертеже, значени я не имеет. Такие же затруднени я вызывают непривычные изображени я любых других геометрических фигур. Как устранить такое распространенное я вление, как плохое усвоение пон я тий, привод я щее к ошибкам при выполнении учебных действий? Надо приучить учащихс я к самым различным нагл я дным изображени я м объекта изучению при которых не искажалась бы сущность научного пон я ти я . Когда ученики прорешают достаточно много нешаблонных задач, они привыкнут анализировать их с точки зрени я теории и не окажутс я в тупиковой дл я себ я ситуации. Тогда они, встретив непривычное изображение или незнакомое название предмета. Не будут в растер я нности, а сразу начнут сравнивать его признаки с признаками изучаемого в данный момент научного пон я ти я . Или другой пример [20]. Правильно ответив на вопрос, под каким углом пересекаютс я диагонали ромба («под пр я мым»), ученик не может уверенно ответить на простой вопрос, св я занный с первым: «Диагонали четырехугольника пересекаютс я взаимно перпендикул я рно. Может ли данна я фигура быть ромбом?» Он или отказываетс я от ответа, или отвечает на него отрицательно, то есть неверно.

Некоторые ученики вообще не вид я т разницы в содержании вопросов, считают, что это один и тот же вопрос.

Причина затруднени я и ошибок – в недостаточном развитии мышлени я , в частности, в неумении логически мыслить и вводить новое знание из ранее известного, а также формально заученное знание данного конкретного вопроса – о пересекающихс я диагонал я х ромба. Как преодолеть подобные ошибки? Можно продолжать постановку нестандартных вопросов, требующих мышлени я . Так, например, этот же вопрос можно повернуть и по – другому: если на него (в приведенном варианте) ученик ответил утвердительно, т. е. правильно, то следует вопрос: «А может быть, это квадрат, а не ромб, так как у него ведь тоже диагонали пересекаютс я под пр я мым углом?» Усвоивший теорию ученик отвечает уверенно, что «квадрат – это тоже ромб, но не только с равными сторонами, но и с пр я мыми углами». Попытка учител я возразить ему, сравнива я определени я пон я тий «ромб» и «квадрат», не произвела не него впечатлени я : он продолжал настаивать, утвержда я : «Определение квадрата не противоречит определению ромба». Тогда учитель говорит: «ведь у ромба нет такого признака, как пр я мые углы?», на что у ученика немедленно находитс я ответ: «Ну и что? В определении квадрата зато есть все признаки ромба; равные стороны и взаимно перпендикул я рные диагонали». Разгоревша я с я дискусси я вызвала интерес у всех учеников в классе, но с прозвеневшим звонком она была прервана.

Учитель рассталс я с учениками, не разрешив дискуссионную проблему, но попросил их внимательно подумать на досуге, в чем тут дело. «В следующий раз вернемс я к этому вопросу», - пообещал он. Можно быт уверенным, что ученики будут об я зательно думать и спорить и непременно придут к каким – то своим выводам, правильным или не совсем. На очередном уроке учитель поставил все точки над i , рассудит, кто прав или не прав, и объ я снит, почему. И объ я снение его л я жет на уже подготовленную психологическую почву – созревшую психологическую готовность учеников узнать истину – ответ на спорный вопрос. 2.2 К вопросу о диагностике математического пон я ти я 'величина' Под руководством В.В.Давыдова группой методистов было, разработано содержание дочислового периода и выделены основные способы действи я по формированию математического пон я ти я величины [10]. Критерием понимани я величины как особого свойства предметов я вл я етс я то, что при оценке отношений между реальными объектами учащиес я отказываютс я от непосредственных суждений, выдел я ют общий дл я сравниваемых предметов признак и с помощью него устанавливают соответствующие отношени я между величинами ( , =) [21]. В подходе Б.Д. Эльконина к логико-психологическому строению пон я ти я величины как свойства предметов недостаточно дл я полноценного формировани я пон я ти я величины [36]. Пон я тие величины необходимо рассматривать через отношение двух основных действий: сравнение и преобразование, которые задаютс я при аксиоматическом определении математической величины. Таким образом, в подходе Б.Д. Эльконина, критерием сформированности пон я ти я 'величина' становитс я умение ребенка с помощью предмета-посредника (разницы) рассматривать отношение между величинами через их изменение, т.е. уметь переходить от сравнени я к преобразованию и обратно.

Анализ методических разработок по математике (экспериментальна я программа В.В. Давыдова), проведенный с точки зрени я на величину как отношение действий, показал, что в обучении дет я м недостаточно представлена знакова я характеристика пон я ти я величины.

Ориентиру я сь на отношени я , =, учащиес я осуществл я ют разностное сравнение предметно представленных величин, однако само разностное отношение не я вл я етс я особым предметом действи я . Другими словами, учащиес я не выстраивают переход от сравнени я к преобразованию с опорой на разницу.

Недостаточна я разработка подхода к введению величины как совокупности параметров объекта ограничивает возможности учащихс я в освоении полного пон я ти я величины.

Задача насто я щего исследовани я состо я ла в том, чтобы определить, каким образом содержание пон я ти я 'величина' представлено в действи я х детей. При конструировании диагностических методик я опиралась как на нормативные характеристики пон я ти я [37], выделенные в результате логико-психологического анализа, так и на требовани я к построению системы диагностических заданий [19], [15]. В соответствии с критерием предметности теоретического знани я необходимо было выделить как существенные признаки пон я ти я , так и несущественные дл я объективного содержани я пон я ти я признаки.

Создание в экспериментальной ситуации ориентации ребенка на несущественные признаки, присутствующие в реальной ситуации решени я задачи, позволит определить, что я вл я етс я содержанием действий ребенка и совпадает ли оно с содержанием пон я ти я [21]. Следовательно, общий принцип построени я экспериментальной ситуации должен состо я ть в противопоставлении двух возможных способов действи я учащегос я : натурального отношени я к объекту и теоретического отношени я к нему. Если окажетс я , что уровень знаний, определенный по диагностическим методикам, не соответствует нормативным критери я м сформированности математического пон я ти я 'величина', то можно будет сделать вывод о том, что существующа я система заданий в экспериментальной программе по математике не совершенна и не приводит к полному формированию пон я ти я . С целью определени я сформированности пон я ти я 'величина' в соответствии с нормативными характеристиками я примен я ла методику 'Полоски' [21]. Задани я , представленные в методике, позвол я ют вы я вить, выступает ли дл я учащихс я отношение между величинами (разница) как предмет преобразовани я — перехода от одной величины к другой.

Следовало определить, могут ли дети представить отношение А > В через отношение А = В + С, т.е. дискретное отношение между двум я объектами рассмотреть через непрерывное преобразование одной величины (А) из другой (В). Кроме того, сконструированна я методика необходима дл я того, чтобы вы я вить, умеют ли учащиес я моделировать процесс преобразовани я величин.

Процесс преобразовани я величины в задани я х методики был представлен двум я планами: предметным (р я д бумажных полосок) и символическим (формулы, описывающие процесс преобразовани я ). То, насколько ребенок различает эти два плана и может переходить от одного к другому, позвол я ет судить о сформированности действи я моделировани я . Основной принцип построени я методики состо я л в выделении и представлении отношени я между двум я действи я ми: с одной стороны, преобразованию объекта противопоставл я лось сравнение двух объектов как отдельных вещей, с другой стороны, объекты предъ я вл я лись, 'как будто' разные состо я ни я изменени я одного объекта [24]. Процесс преобразовани я был задан возрастающим р я дом бумажных полосок. С помощью формулы, описывающей преобразование, требовалось из данного р я да бумажных полосок путем попарного сравнени я их между собой выделить отношение между ними (разницу). Трудность данного задани я состо я ла в том, что разницы были отмечены в формуле буквами, однако не были представлены нагл я дно.

Требовалось восстановить разницу как способ перехода от одной величины к другой.

Именно в таких задани я х разница, представленна я как отношение между двум я величинами, найденна я путем сравнени я их между собой, позвол я ет восстановить действие преобразовани я через сравнение, т.е. выступает как знак, фиксирующий отношение двух действий.

Эксперимент проводилс я в сент я бре-окт я бре 2006 года.

Испытуемыми были 22 ученика 3 класса экспериментальной школы № 3 в поселке Комсомольском Чамзинского района.

Материалом дл я методики послужили четыре бумажные полоски разной длины, расположенные в пор я дке возрастани я по длине (рисунок 2.1).

Задание 1. В данном задании требовалось найти отношени я (разницы) между бумажными полосками, обозначенные в формуле буквами. 'Покажи на полосках, где м, к, о, е?' Задание 2. Требовалось по записанным формулам к+о, о+е, к+е найти в предметном плане сумму разниц: 'Что значит сумма к+о? Покажи на полосках'. Задание 3. В данном задании требовалось найти соответствие между формулой, замещающей р я д полосок, и формулой, моделирующей процесс изменени я длины резиночки. 'Давай с тобой поиграем, - говорил экспериментатор, - Мы должны получить одинаковый результат, работа я с разными формулами. Я буду работать с формулой а б в г, а ты с формулой м + к + о + е. Я из 'б' получаю 'в' (показывает на часть формулы б - в), а ты? Покажи часть своей формулы, по которой получитс я тот же результат, что и у мен я '. Испытуемый должен показать часть формулы, соответствующей результату изменени я по формуле экспериментатора.

Результаты. В эксперименте участвовало 22 ученика. Из них со всеми задани я ми справились 3 человека (13%). С первым заданием 50% детей справились самосто я тельно, а 50% лишь после навод я щих вопросов экспериментатора перешли от неверного решени я к верному.

Верным способом решени я задани я 1 я считала такое поведение испытуемых, когда они по формуле сложени я могли выделить разницу из предметного р я да полосок.

Отличительным признаком такого поведени я я вл я лс я жест испытуемого; пальцами показываетс я рассто я ние, на которое отличаютс я соседние в р я ду величины (рисунок 2.2).

Экспериментатор просил ребенка по формуле сложени я выполнить действие с полосками.

Испытуемый прикладывал полоски по длине в одну линию (рисунок 2.3). м к о е м+к+о+е Рисунок 2.3 – Отождествление разниц с полосками После того, как экспериментатор спрашивал, до какой длины раст я гивалась полоска, учащиес я убеждались, что они неверно нашли величины и нарушили условие задачи. Важно отметить, что така я подмена условий задани я свидетельствует о том, что испытуемые непосредственно соотнос я т предметы и буквенное обозначение величин, не обраща я внимани я на математический знак сложени я . Если разница нагл я дно не представлена, то испытуемые не могут ее выделить. В этом случае разница не я вл я етс я способом перехода от одной величины к другой, а выступает предметом — таким же, как и сравниваемые предметы. При выполнении задани я 1 я добивалась понимани я и предметной фиксации разницы с помощью жеста (двум я пальцами испытуемый показывал тот отрезок, на который увеличивалась одна из полосок). После этого учащиес я переходили к выполнению задани я 2. От общего числа испытуемых только 40% детей смогли правильно выполнить задание 2. При верном решении мы наблюдали следующие способы поиска суммы разниц: - либо учащиес я сначала показывали пальцами отрезок (разницу), а затем объедин я ющим жестом присоедин я ли отрезки друг к другу (рисунок 2.4,а); - либо полоски накладывались детьми одна на другую, а обща я разница выдел я лась как часть одной из полосок (рисунок 2.4,б). а) б) Рисунок 2.4 – Варианты верного решени я задани я 2 При неверном выполнении задани я наблюдалось два типа ответов. В первом случае за сумму разниц принималась одна из полосок (рисунок 2.5, а). Во втором случае, когда экспериментатор просил показать сумму разниц, испытуемые показывали только одну из разниц (например, вместо о + е выдел я лс я отрезок о или е (рисунок 2.5, б.).

Выполнение задани я 3 оказалось самым трудным дл я учащихс я , т.к. требовалось работать уже не в плане предметного р я да полосок, а находить отношение между двум я видами записи одного и того же процесса преобразовани я величины резиночки.

Только 30% от общего числа испытуемых (6 детей) смогли верно выполнить это задание. Эти испытуемые действовали без опоры на предметный р я д и не принимали во внимание провоцирующий фактор, что одна формула записана точно под другой.

Напротив, дл я другой группы испытуемых из 18 участников эксперимента (70%) така я запись провоцировала на буквальное повторение действий экспериментатора, работающего с первой формулой.

Испытуемые совмещали части двух формул и отвечали, например, что переход от 'в' к 'г' означает, по их формуле, о+е (рисунок 2.6).

Однако 50% учащихс я (по результатам решени я заданий 1) не могут самосто я тельно выделить отношение между двум я предметами, т.е. не могут отделить отношение между вещами от самих вещей. Это позвол я ет сделать вывод о преобладающем натуральном подходе в отношении к математическому пон я тию 'величина'. Данные эксперимента указывают на недостаточную разработку как логико-психологического анализа пон я ти я 'величина', так и методического оформлени я заданий по формированию полноценного пон я ти я величины.

Уместно привести положение Б.Д. Эльконина о том, что знаковость как центральна я характеристика пон я ти я величины не формируетс я спонтанно, а должна стать объектом специального формировани я [36]. Подтверждаетс я мое предположение о том, что введение пон я ти я величины, основанное на действи я х уравнивани я и сравнени я , недостаточно.

Необходимо прин я ть во внимание положение о том, что введение величины должно быть основано на отношении двух действий: сравнени я и преобразовани я . Это положение требует поиска особой формы представленности дл я ребенка действи я по преобразованию величины объекта, на основе которого возможно было бы осуществл я ть переход к действию сравнени я . 2.3 Диагностика уровн я сформированности математических пон я тий (метод ключевых пон я тий ) В данном пункте описан метод ключевых пон я тий, который, как представл я етс я , хорошо отвечает задаче оценки сформированности пон я тийного аппарата.

Содержание метода подробно обсуждаетс я в статье Н.О. Вербицкой, В.Ю. Бодр я кова [4]. Он основываетс я на исследовании остаточных знании учащихс я по провер я емой теме, разделу, курсу.

Остаточными знани я ми мы называем тот объем пон я тий, которым «отложилс я », осталс я в пам я ти учащихс я после изучени я темы спуст я некоторое врем я , в течение которого эти пон я ти я с детьми не повтор я лись. Важно подчеркнуть, что объем и структура остаточных знаний напр я мую св я заны с интеллектуальным уровнем развити я ученика.

Ученик с низким интеллектом менее восприимчив к теоретическим пон я ти я м, т. е. от него нельз я ожидать качественных и полных определений, которые вполне естественны дл я учащихс я более высокого интеллекта [15]. Поэтому применению метода ключе вых пон я тий должны предшествовать психологические исследовани я интеллектуального развити я каждого ученика. В литературе по психологии прин я то выдел я ть семь уровней интеллекта: высокий, очень хороший, хороший, умеренный, средний, удовлетворительный, низкий. На методах установлени я такой классификации мы останавливатьс я не будем, поскольку он хорошо известен специалистам.

Методической основой такой классификации может стать стандартный тест ШТУР (школьный тест умственного развити я ), который часто встречаетс я в психологической литературе [12]. Суть самого метода ключевых пон я тий довольно проста.

Учащимс я предлагаетс я письменно наиболее полно раскрыть от 5 до 10 основных пон я тий, составл я ющих суть диагностируемой темы. При этом предлагаемые пон я ти я должны отвечать требова ни я м ключевого значени я и достаточной общности [5]. В зависимости от объема провер я емого материала и сложности пон я тий на письменную работу может быть затрачено от 20 до 40 мин.

Собрав работы, учитель указывает на каждой из них индивидуальный интеллектуальный балл ее исполнител я , а затем оценивает по 5-балльной системе качество выполнени я задани я . На основе проведенной проверки вычисл я ютс я следующие показатели: ИУ – индивидуальный общий уровень знаний, показывающий, сколько процентов задани я выполнил учащийс я : СУ – средний общий уровень знании, демонстрирующий, кака я часть задани я выполнена в среднем в данной группе учащихс я : На основе полученных данных вычисл я етс я главный показатель — индивидуальное расхождение (ИР). Это тот процент выполненного задани я , который соответствует уровню интеллекта каждого учащегос я . Показатель ИР определ я ет, с одной стороны, индивидуальную «недогруженность» каждого ученика и, с другой стороны, наибольший возможный процент выполнени я задани я (т. е. усвоенных пон я тий) на нынешнем этапе умственного развити я ученика. Если ученик имеет высокий уровень интеллекта и при этом сумел разъ я снить всего 30% ключевых пон я тий, то, значит, качество его знаний нуждаетс я в срочном восполнении. Но если школьник имеет удовлетворительный уровень интеллекта, но сумел разъ я снить 80% заданных пон я тий, то он заслуживает отличной оценки, а не те три балла, которые он обычно получает на контрольной работе.

Именно индивидуальное расхождение должно определить оценку ребенка при проверке качества знаний.

Коэффициент СР – среднее расхождение – показывает среднее по классу (группе) соответствие уровн я знаний уровню интеллекта. Из формулы видно, что чем меньше СР, тем выше качество знаний всех учащихс я : В приведенной ниже таблице (таблица 2.1) показана схема оценки знаний ученика в соответствии с установленным уровнем его интеллектуального развити я и объемом выполненной работы. Можно обратить внимание на то, что чем ниже интеллектуальный уровень ученика, тем меньший объем работы от него требуетс я дл я получени я нулевого балла индивидуального расхождени я . Так, ученикам с высоким интеллектом требуетс я сделать от 90% до 100% всей работы. Но если интеллект оценен как умеренный, то уже 70% выполненной работы (то же от 70% до 100%) обеспечивают нулевой балл ИР. А дл я реб я т с низким уровнем интеллекта достаточно 50—70% выполнени я дл я получени я нулевого балла ИР, а значит, и отличной оценки [5]. Таблица 2.1 – Оценка знаний ученика с установленным уровнем его ИР и объемом выполненной работы

Необычное направление координатной оси (справа налево) продиктовано стремлением к нагл я дности: повышение качества знаний соответствует уменьшению среднего расхождени я . Экспертизу качества знаний целесообразно проводить в несколько этапов, например, при завершении крупной темы или раздела, или в конце каждой учебной четверти.

Каждому этапу исследовани я должна соответствовать точка на координатной плоскости СР—СУ. Ломана я лини я , соедин я юща я эти точки, позволит проанализировать динамику роста качества знаний учащихс я . Так, на рисунок 2.7 цифрами I , II , III , IV обозначены точки, характеризующие результаты проверок, проведенных, соответственно, в первой, второй, третьей и четвертой четверти. При этом, очевидно, повышение качества знаний соответствует уменьшению среднего расхождени я СР и увеличению среднего общего уровн я знании СУ. Рисунок 2.7 – Результаты экспертизы качества знаний Аналогично может быть построен график соответстви я ИР—ИУ дл я оценки индивидуального уровн я знаний.

Закономерности при этом остаютс я теми же самыми (рисунок 2.8): чем выше «интеллектуальный уровень» ученика, тем ниже балл «индивидуального расхождени я » (ИР). Рисунок 2.8 – Оценка индивидуального уровн я знаний Следует подчеркнуть, что дл я методики ключевых пон я тий необходимо использовать не стандартные определени я , данные в учебнике дл я об я зательного заучивани я наизусть, а именно ключевые пон я ти я , требующие самосто я тельной мыслительной де я тельности учащихс я . Проверка стандартных, заученных наизусть определений не дает адекватного представлени я о качестве остаточных знаний учащихс я , а я вл я етс я , скорее, проверкой оперативной пам я ти учащихс я [5]. Можно предложить следующее примерное содержание пон я тий, подход я щих дл я экспертной оценки остаточных теоретических знаний учащихс я VIII класса.

Алгебра Тема «Алгебраические выражени я » Объ я сните, что такое формула, числовое равенство? Запишите формулу четного числа и формулу нечетного числа. Разъ я сните, что такое алгебраическое выражение? Что называетс я степенью числа, основанием степени, показателем степени? Тема «Уравнение первой степени с одним неизвестным» Что называетс я уравнением, корнем уравнени я , что значит решить уравнение? Перечислите основные свойства уравнений. Тема «Алгебраические дроби» Объ я сните термин «алгебраическа я дробь». Перечислите основные свойства дроби.

Сформулируйте правила умножени я и делени я алгебраических д робей, правило возведени я алгебраической дроби в степень. Тема «Формулы сокращенного умножени я » Запишите, чему равен квадрат суммы двух чисел, квадрат разности двух чисел. Запишите формулу разности квадратов двух чисел.

Геометри я Тема «Основные пон я ти я геометрии» Опишите пон я ти я «точка», «пр я ма я ». Определите, что такое «отрезок», «луч», «угол». Объ я сните, откуда берутс я единицы измерени я отрезков. Тема «Треугольник и его элементы» Объ я сните, что такое градус», что такое «треугольник». Опишите, какие два угла называютс я вертикальными, какие пр я мые называютс я параллельными.

Назовите признаки равенства треугольников. Дайте определени я пон я тий: «медиана», «биссектриса», «высота треугольника». Тема «Параллельные пр я мые» Объ я сните, что такое параллельные пр я мые.

Каковы признаки параллельности двух пр я мых? Сформулируйте аксиому параллельности пр я мых. Тема «Виды треугольников» Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника. Объ я сните, что такое остроугольный, пр я моугольный, тупоугольный треугольник, приведите примеры таких треугольников. В чем состоит теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника? Сформулируйте неравенство треугольника. При ответах на данные вопросы учащиес я не должны вспоминать дословно соответствующие материалы из учебника. Все описани я , определени я , формулировки они могут давать своими словами.

Результаты проверки остаточных знаний по математике, полученные на основе описанного метода, нагл я дно представлены графиками и гистограммами на рисунке 2.9. Данные получены дл я двух восьмых классов средней школы №3 п.

Комсомольского.

Каждый кружок на графиках означает точку соответстви я индивидуального уровн я и индивидуального расхождени я дл я какого-то учащегос я данного класса. На гистограммах показано распределение учащихс я по баллам ИР в каждом классе. Рисунок 2.9 – Гистограммы распределени я учащихс я по баллам ИР в VIII “ A ” и VIII «Б» соответственно Рисунок 2.10 – Графики соответстви я индивидуального уровн я и индивидуального расхождени я дл я учащихс я VIII “ A ” и VIII «Б» Например, на гистограмме VIII «А» (рисунок 2.9) мы видим, что достигнуть нулевого уровн я расхождени я в этом классе сумели 4 человека.

Значит, если судить по таблице 2.1, эти ученики обеспечили себе за работу оценку «5» пне зависимости от того, к какому уровню отнесен их интеллект. В VIII классе «Б» с отличниками хуже: там достиг нулевого балла ИР только один человек (см. гистограмму). Но зато более 6 учащихс я показали свое ИР на уровне 4 баллов. Это очень большое расхождение. Таким учащимс я угрожает оценка «2». Но, суд я по графику VIII «Б», в соответствии с рисунком 2.10, реально получат двойку только 4 человека, чей процент раскрыти я материала близок к 20 % или превышает их. Эти уча щиес я я вно недогружены интеллектуально, по-видимому, просто лен я тс я . Но еще 3 человека (см. три кружочка у цифры 4 на графике VIII «Б», в соответствии с рисунком 2.10) имеют низкий уровень интеллекта.

Ставить им за данную работу дополнительную двойку к множеству плохих оценок уже заработанных ими, не имеет смысла. Эти дети нуждаютс я в зан я ти я х по общему развитию.

Полученные результаты могут дать учителю следующую информацию. 1 Существует очевидна я коррел я ци я (почти линейна я ) между индивидуальным уровнем и индивидуальным расхождением в целом по классу. Это свидетельствует о статистической объективности (валлидности) метода. 2 Структурный анализ гистограмм позвол я ет сделать выводы и дать конкретные рекомендации учителю по дальнейшей методике работы с исследованными учащимис я . Так, согласно гистограмме VIII «Б» класса, у половины учащихс я практически нет самосто я тельной мыслительной де я тельности по формированию собственного пон я тийного аппарата (высокий балл расхождени я ), т. е. работа идет на уровне оперативного запоминани я . Работа с этим классом требует акцента на развитие мыслительной де я тельности. В VIII «А» классе картина более благополучна я . В дополнение к вышесказанному, описанные гистограммы могут стать объективной основой дл я дифференцированного подхода к содержанию учебного материала.

Группа с нулевым баллом расхождени я может и должна учитьс я по более продвинутой программе. 3 Общий анализ результатов проведенных измерений объективно свидетельствует о недостаточной сформированности у учащихс я теоретических знаний, слабой способности к самосто я тельной мыслительной де я тельности: только небольшой процент учащихс я в исследованных классах показал нулевой балл расхождени я , т. е. работает в полную силу. 2.4 Исследование процесса сравнени я пон я тий учащимис я 11 класса Цель эксперимента – вы я вить как измен я етс я определение пон я тий в процессе их усвоени я [2]. Необходимый материал.

Письменные определени я дес я тью учениками 11 класса пон я ти я производной, данные в начале изучени я темы и после ее изучени я . Ход выполнени я задани я . После того как я провела эксперимент, я весь анализ материала ввела в таблицу 2.2. Таблица 2.2 – Изменение определени я пон я тий в процессе их усвоени я

Список используемых источников 1 Бадмаев, Б. Ц. Психологи я в работе учител я : в 2 кн. / Б. Ц. Бадмаев. – Кн. 2: Психологичекий практикум дл я учител я : развитие, обучение, воспитание. – М. : ВЛАДОС. – 2004. – 158 с. 2 Берхин, Н. Б., Спичак, С. Ф. Практические зан я ти я по психологии : учебное пособие дл я студентов пед. ин-тов / Н. Б. Берхин, С. Ф. Спичак ; под ред. А. В. Петровского. – М. : Просвещение, 1972. – 167 с. 3 Бескин, Н. М. Методика геометрии / Н. М. Бескин ; с приложением главы : «Методика преподавани я нагл я дной геометрии» А. М. Астр я ба ; допущущен М-вом высш. образовани я СССР в качестве учебника дл я пед. ин-тов. – М. : Учпедгиз, 1947. – 276 с. 4 Вербицка я , Н. О. Методика ключевых определений / Н. О. Вербицка я , В. Ю. Бодр я ков // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 1996. – № 6. – С. 70–73. 5 Вербицка я , Н. О., Кожевникова, Л. А., Бодр я ков, В. Ю. Метод контрол я остаточных знаний по математике / Н. О. Вербицка я , Л. А. Кожевникова, В. Ю. Бодр я ков // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 1998. – №2. – С. 58–61. 6 Владимирцева, С. А. О разных подходах к введению математических пон я тий / С. А. Владимирцева // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 2005. – №7. – С. 46–52. 7 Войшвилло, Е. К. Пон я тие как форма мышлени я : логико-гносеологический анализ / Е. К. Войшвилло. – М. : Изд-во МГУ, 1989. – 239 с. 8 Геометри я : учеб. дл я 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / Л. С. Анат я с я н [и др.] ; М-во образовани я Рос.

Федерации. – 13-е изд.. – М. : Просвещение, 2003. – 384 с. 9 Геометри я : учеб. дл я 10 – 11 кл. сред. шк./ Л. С. Анатас я н, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.] ; М-во образовани я Рос.

Федерации. – 12-е изд., перераб. и доп. / при участии А. Н. Тихонова. – М. : Просвещение, 2003. – 206 с. 10 Давыдов, В. В. Проблемы развивающего обучени я : опыт теоретического и экспериментального психологического исследовани я : учеб. пособие дл я студентов вузов, обуч. по напр. и спец. психологии / В. В. Давыдов ; М-во образовани я Рос.

Федерации. – М. : Академи я , 2004. – 283 с. 11 Демидов, В. П., Саранцев, Г. И. Методика преподавани я математики : учебное пособие дл я студентов / В. П. Демидов, Г. И. Саранцев ; МГУ им. Н. П. Огарева. – Саранск : Изд-во мордовского ун-та, 1976. – 190 с. 12 Елисеев, О. П. Конструктивна я типологи я и психодиагностика личности / О. П. Елисеев. – Псков : ПГУ, 1994. – 157 с. 13 Кол я гин, Ю. М., Луканкин Г. Л. Основные пон я ти я современного школьного курса математики : пособие дл я учителей / Ю. М. Кол я гин, Г. Л. Луканкин ; под ред. А. . Маркушевича. – М. : Просвещение, 1974. – 382 с. 14 Крыговска я , С. Роль определени я в математической де я тельности учащихс я / С. Крыговска я // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 2005. – № 4. – С. 66–70. 15 Леонтьев, А. Н. О диагностических методах психологического исследовани я школьников / А. Н. Леонтьев, А. Р. Лури я , А. А. Смирнов // Советска я педагогика : ежемес. науч.-теоретический журнал. – 1968. – С. 65–71. 16 Матыщук, К. В. Определени я в преподавании математики / К. В. Матыщук // Математика в школе : двухмес. науч.-методический журнал. – 1947. – № 3. – С. 34–37. 17 Методика преподавани я математики в средней школе : частна я методика : учеб. пособие дл я студентов пед. ин-ов физ.-мат. спец. / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и [др.] ; c ост. В. И. Мишин. – М. : Просвещение, 1987. – 416 с. 18 Мищенко, А. С. О некоторых проблемах школьного математического образовани я / А. С. Мищенко // Методологические проблемы преподавани я математики. – Л., 1987. – С. 101–106. 19 Немов, Р. С. Психологи я : учеб. дл я студентов высш. пед. учеб. заведений : в 3 кн. – Кн. 3: Психодиагностика.