Компьютеры и периферийные устройства

Историческая личность

Культурология

История

История экономических учений

Военная кафедра

Теория государства и права

Конституционное (государственное) право зарубежных стран

Химия

Конституционное (государственное) право России

Менеджмент (Теория управления и организации)

Физика

Геодезия, геология

Литература, Лингвистика

Математика

История отечественного государства и права

Космонавтика

География, Экономическая география

Биология

Астрономия

Социология

Сельское хозяйство

Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика

Религия

Римское право

История государства и права зарубежных стран

Педагогика

Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство

Технология

Международные экономические и валютно-кредитные отношения

Музыка

Бухгалтерский учет

Искусство

Криминалистика и криминология

Банковское дело и кредитование

Философия

Страховое право

Гражданская оборона

Физкультура и Спорт

Экономика и Финансы

Государственное регулирование, Таможня, Налоги

Международное право

Пищевые продукты

Уголовное и уголовно-исполнительное право

Экскурсии и туризм

Маркетинг, товароведение, реклама

Медицина

Психология, Общение, Человек

Ценные бумаги

Транспорт

Политология, Политистория

Право

Охрана природы, Экология, Природопользование

Компьютеры, Программирование

Радиоэлектроника

Архитектура

Земельное право

Материаловедение

Здоровье

Административное право

Металлургия

Компьютерные сети

Экологическое право

Финансовое право

Техника

Уголовный процесс

Программное обеспечение

Экономико-математическое моделирование

Гражданское право

Биржевое дело

Теория систем управления

Программирование, Базы данных

Российское предпринимательское право

Нероссийское законодательство

Арбитражно-процессуальное право

Авиация

Геология

Трудовое право

Иностранные языки

Таможенное право

Уголовное право

Ветеринария

Налоговое право

Разное

Правоохранительные органы

Подобные работы

Выборочное наблюдение

echo "Выборочный метод обследования, или как его часто называют выборка, применяется прежде всего в тех случаях, когда сплошное наблюдение вообще невозможно. Обследование может быть связано с уничтож

Платоновы тела

echo "Вчетвертых, каждое из Платоновых тел может быть вписано в сферу, каждой своей вершиной касаясь поверхности этой сферы. Есть только четыре формы помимо куба (А), отвечающие всем этим характеристи

Использование статистических методов в анализе успеваемости ВУЗов

echo "Качество высшего образования понимается как «соответствие норме» в подготовке бакалавров, специалистов и магистров, а норма – требуемый уровень знаний и навыков – зафиксирована, прежде всего, в

Ряд Тэйлора, законы физики и численное интегрирование дифференциальных уравнений

echo "Например, - координата, количество движения, сила, энергия,… и так далее бесконечное число отдельных понятий, включая и ранее не называвшиеся отдельными именами и промежуточные и последующие пон

Коды Шеннона – Фано и Хафмана

echo "Исследователи занимались вопросами энтропии, содержимого информации и избыточности. Интересно, что эти первоначальные работы в области сжатия информации велись до появления современного цифрово

Математический анализ. Регрессия

echo "Выдвигается и проверяется гипотеза о том что истинное значение коэффициента регрессии=0. Для проверки гипотезы используется критерий Стьюдента. "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " к-т является

Математические софизмы

echo "Исторические сведения» Понятие софизма. Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепос

Математические софизмы

Математические софизмы

Исторические сведения» Понятие софизма.

Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям.

Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях.

Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения.

Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит.

Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизмгибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой.

Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения.

Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами. Об этом подробнее в следующем разделе.

Экскурс в историю.

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества( 5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами.

Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными.

Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения.

Основным направление деятельности софистов стала социально-антропологическая проблема. Они рассматривали самопознание человека, учили сомневаться, но все же, это очень глубокие философские проблемы, которые стали основой для мыслителей Европейской культуры. Что касается самих софизмов, то они стали как бы дополнением к софистике в целом, если рассматривать ее как истинно философское понятие.

Исторически сложилось, что с понятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софистапредставить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. Там не менее, в Греции софистами называли и простых ораторов.

Известнейший ученый и философ Сократ по началу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом.

Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон). Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы.

Учение Сократа было устным. Кроме того, Сократа и по сей день считают самым мудрым философом. Что касается самих софизмов, то, пожалуй, самым популярным на тот момент в Древней Греции был софизм Евбулида : «Что ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял.

Значит у тебя рога». Единственная неточность, которую возможно было допустить, то этодвусмысленность высказывания.

Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникла намного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так: «Все, что ты не терял. . .», то вывод стал бы логически безупречным.

Подобных софизмов действительно очень много, но хотелось бы больше всего разобрать некоторые математические софизмы, которые наиболее популярны и известны. Об этом и будет следующая глава. Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику.

Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.

Алгебраические софизмы. 1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»

решим систему двух уравнений: х+2у=6, (1) у=4- х/2 (2) подстановкой у из 2го ур-я в 1 получаем х+8-х=6, откуда 8=6 где ошибка??? Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде: Х+2у=6, Х+2у=8 В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения.

Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают. Перед тем, Как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще. 2. «Сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места» Рассмотрим сумму бесконечного числа слагаемых, поочередно равных плюс единице и минус единице, т.е. S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…….. , (1) И попробуем найти значение этой суммы.

Сначала поступим следующим образом. Будем объединять слагаемые в пары, начиная со второго слагаемого, ставя перед каждой парой «минус», т.е. S =1-(1-1)-(1-1)-….=1-0-0-…=1. Теперь переставим каждое положительное слагаемое той же суммы (1) на место отрицательного и обратно, тогда S =-1+1-1+1-1+1-…=-1+(1-1)+(1-1)+…=-1+0+0+…=-1. Итак, по-разному переставляя слагаемые суммы(1), мы пришли к различным значениям этой суммы: 1 и –1, в итоге сумма слагаемых изменяется от перегруппировки слагаемых ,а сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места. Где ошибка??? 3. «Дважды два равно пяти». Обозначим 4=а, 5= b , ( a + b )/2= d . Имеем: a + b =2 d , a =2 d - b , 2 d - a = b . перемножим два последних равенства по частям.

Получим: 2 da - a * a =2 db - b * b . Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d * d . Будем иметь: a 2 -2 da + d 2 = b 2 -2 bd + d 2 , или ( a - d )( a - d )=( b - d )( b - d ), откуда a - d = b - d и a = b , т.е. 2*2=5 Где ошибка??? Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны. 4. «Отрицательное число больше положительного». Возьмем два положительных числа а и с.

Сравним два отношения: а -а -с с Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию: а -а -с с Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного. Где ошибка??? Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

Геометрические софизмы. 1. «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра» Попытаемся 'доказать', что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой.

Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС. Где ошибка??? Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра. 2. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» Пусть а дмдлина спички и b дм - длина столба.

Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b 2 - ab = ca + c 2 . Вычтем из обеих частей bc. Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b. Где ошибка??? В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба. 3. «Катет равен гипотенузе» Угол С равен 90 о , ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС. Где ошибка??? Рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС. 4. Арифметические софизмы. 1. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В» Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В. Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему: А(В-А)>(В+А)(В-А). (1) После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что А>В+А (2), А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда А>2В. Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10. Где ошибка??? Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2). Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А 2. «Один рубль не равен ста копейкам» Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a = b , c = d , то ac = bd . Применим это положение к двум очевидным равенствам 1 р.=100 коп, (1) 10р.=10*100коп.(2) перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп. (3) и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп. таким образом, один рубль не равен ста копейкам. Где ошибка??? Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство 2 2 10 р. =100 000 к . , которое после деления на 10 дает 2 2 1 р. = 10 000 коп., (*) а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма.

Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство 1р.=100 коп. 3. «Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его». Возьмем два произвольных положительных равных числа А и В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства: А>-В и В>-В. (1) Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство А*В>В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что А > В. (2) Записав же два других столь же бесспорных неравенства В>-А и А>-А, (3) Аналогично предыдущему получим, что В*А>А*А, а разделив на А>0, придем к неравенству А>В. (4) Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его. Где ошибка??? Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств.

Проделаем правильные преобразования неравенств.

Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0. Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства (А+В)(В+В)>0, или А>-В, что представляет собой просто верное неравенство.

Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде (В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В>-А. 4. «Ахиллес никогда не догонит черепаху» Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения.. Вот примерная схема рассуждений Зенона.

Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху.

Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед.

Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху. Где ошибка??? Рассматриваемый софизм Зенона даже на сегодняшний день далек от своего окончательного разрешения, поэтому здесь я обозначу только некоторые его аспекты.

Сначала определим время t , за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a + vt = wt , где а -расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях ( v =1 шаг/с и w =10 шагов/с) равно 11, 111111… сек.

Другими словами, примерно через 11, 1 с.

Ахиллес догонит черепаху.

Подойдем теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики, проследим логику Зенона.

Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдет черепаха. Если черепаха до момента встречи с Ахиллесом пройдет m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс еще один отрезок, который разделял их до начала движения.

Следовательно, мы приходим к равенству m = m +1, что невозможно.

Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху!!! Итак, путь, пройденный Ахиллесом, с одной стороны, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны, эта бесконечная последовательность, очевидно не имеющая конца, все же завершилась, и завершилась она своим пределом, равном сумме геометрической прогрессии.

Трудности, которые возникают при оперировании понятиями непрерывного и бесконечного и столь мастерски вскрываются парадоксами и софизмами Зенона, до сих пор не преодолены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики.

Заключение. О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день.

Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях.

Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.

Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу.

Требуются определенный навык и смекалка. Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми.

Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.

Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. По началу, я думала, что софизмы бывают исключительно математические.

Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой области, я поняла, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения.

Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными.