Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Решение перечисленных задач невозможно без использования микропроцессорной техники.

Поэтому выпускники железнодорожных вузов должны хорошо ориентироваться в вопросах, связанных с микропроцессорами: хорошо представлять каким образом функционирует микропроцессорная система, как организуется взаимодействие программных и аппаратных средств. В методических указаниях рассматриваются двоичные, восьмеричные, десятичные и шестнадцатеричные числа.

Вопросы перевода чисел из одной системы счисления в другую, особенно в (из) двоичную систему счисления.

Предназначены для студентов 3-го курса дневного обучения «АТС» и электротехнических специальностей, изучающих основы микропроцессорной техники и микропроцессорные системы управления.

Рецензенты:

Таблица 1.11. Выдержка из алфавитно-цифрового кода ASCII

Двоичная система счисления или система с основанием 2 использует только цифры 0 и 1. Эти двоичные числа названы битами (от bi nary digit ). Физически в цифровых электронных системах бит 0 представлен напряжением LOW (низким), а бит 1—напряжением HIGH (высоким). Человеческая деятельность предполагает использование десятичной системы счисления.

Десятичная система, или система с основанием 10, содержит 10 цифр (от 0 до 9). Она также характеризуется значением позиции (или весом). В табл. 1.1 показано, например, что десятичное число 1327 равно одной тысяче, плюс три сотни, плюс два десятка, плюс семь единиц (1000+300+20+7=1327). Двоичная система обладает также свойством уравновешивания.

Таблица 1.1. Значения позиций десятичных чисел

Наиболее распространен буквенно-цифровой код ASCII (произносится АСКИ) — стандартный американский код обмена информации. В табл. 1.11 приведена выдержка 7-разрядного кода ASCII . В этот список входят 7-разрядные коды цифр, прописных букв и знаков пунктуации.

Полный код ASCII включает кодирование строчных букв и признаков

Двоичное число 1001 (произносится: один, нуль, нуль, один) преобразовано, таким образом, в свой десятичный эквивалент 9. Бит единицы двоичного числа в табл. 1.2 называется младшим битом (МБ), бит восьмерки— старшим битом (СБ). Таблица 1.2. Значения позиций двоичных чисел

Таблица 1.3. Десятичные числа и их двоичные эквиваленты

Команды программы помещены в шесть верхних ячеек (100—105). Нижняя ячейка памяти (200 10 ) является местом размещения данных. В этом случае код ASCII для буквы А помещен в эту ячейку памяти. В итоге важно отметить, что биты сгруппированы в слова внутри микро-ЭВМ. Эти слова памяти программы интерпретируются микро-ЭВМ одно за другим последовательно.

Программисту очень важно знать, как микро-ЭВМ располагает и интерпретирует данные. У каждого МП есть свой состав команд, но у всех микропроцессоров доступ к ячейкам памяти осуществляется одинаково.

Упражнения 2.44. Группа из 4 бит составляет тетраду , а группа из 8 бит -___. 2.45. Длина _________ является важной особенностью МП. Она соответствует числу передаваемых, обрабатываемых бит одной сущности. 2.46. Обратиться к рис. 1.7, а. Байт данных, помещенный в какую-либо ячейку памяти, называется словом 2.47. Дать список семи возможных толкований 8-разрядного слова в памяти. 2.48. Как на рис. 1.7, б МП интерпретирует слово 0000 0001 по адресу 101 10 ?

Рассмотрим верхнюю ячейку памяти на рис. 1.7, а, т. е. ячейку 0110 0100г. Ее содержимым является 1101 1011. Это двоичное слово могло бы быть интерпретировано как 1) двоичное число 1101 1011 2 =219 10 ; 2) двоичное число со знаком 1101 1011= -37 10 (здесь подразумевается дополнительный код); 3) двоично-десятичное число — это невозможно, так как ни 1101, ни 1011 не представляет двоично-десятичный код; 4) буква алфавита — это не соответствует ни одной букве кода ASCII ( ASCII — широко распространенный буквенно-цифровой код, см. § 1.9); 5) командой, 1101 1011—команда INPUT (ВВЕСТИ) для хорошо известного процессора Intel 8080/8085; 6) адрес ячейки памяти 1101 1011 2 = DB 16 =219 10 ; 7) адрес порта ввода или вывода 1101 1011з=219ю-Оператор МП Intel 8085 включит счетчик команд с адреса 100 10 (0110 0100 2 ), МП извлечет затем декодирует слово в памяти 11 Q 1 1011 как команд/ ВВЕСТИ ( INPUT ) данные.

Микропроцессор обратится затем к следующему адресу 101 10 (0110 0101 2 ). Содержимое памяти на рис. 1.7,о то же, что и на рис. 1.4. Программа на рис. 1.4 выполняет следующие команды: 1) ВВЕСТИ ( INPUT ) данные, приходящие из порта 1;

Каждый байт называется запоминаемым словом, поскольку МП является 8-разрядным устройством.

Каждое запоминаемое слово имеет особое значение, когда оно извлечено и декодировано микропроцессором.

Содержимое памяти на рис. 1.7, а может иметь один из следующих смыслов: 1) двоичное число; 2) двоичное число со знаком; 3)

Входящий в состав МП аккумулятор является очень важной частью всего МП. Обычно МП содержат 8-разрядный аккумулятор. Длина слова МП составляет тогда 8 бит, т. е. в этом случае 1 байт составляет слово.

Микропроцессор может иметь длину слова в 4, 8, 16 и даже 32 бит. Таким образом, 16-разрядный МП имеет длину слова 2 байт или 16 бит. Слово — это одна группа обрабатываемых бит, единое выражение или одна команда микропроцессора.

Восьмиразрядный микропроцессор переносит и помещает все данные группами из 8 бит, которые передаются во-

Большая часть систем микроинформатики использует шестнадцатеричную форму записи, чтобы упростить запоминание и использование таких двоичных чисел, как 1001 1110. Шестнадцатеричная система счисления ( hexadecimal )', или система с основанием 16, использует 16 символов от 0 до 9 и А, В, С, D , Е, F . В табл. 1.5 приведены эквиваленты десятичных,

Пренебречь переполнением. 1.42. Следовать процедуре, приведенной в § 1.7: б) (+7) 0000 0111 дополнительный + (+2) = 0000 0010 ----------- 11111110 ——— код и сложить (+5) 10000 1110(доп. код). Пренебречь•переполнением. б) (+113) 0111 0001 + дополнительный + (+50) = 0011 0010 ----------- 11001110 ' код и сложить 10011 1110(доп.код) Пренебречь переполнением, 1.43. Следовать процедуре, приведенной в § 1.7: а) (+3) 0000 0011 - + (+8) = 0000 1000 дополнительный 1111 1000 — код и сложить 1111 1011(доп.код); б) (+12) 0000 1100 (+63) = 0011 1111 дополнительный+1100 0001

Заметим из табл. 1.5, что каждый шестнадцатеричный символ может быть представлен единственным сочетанием четырех бит, Таким образом, представлением двоичного числа 1001 1110 в шестнадцатеричном коде является число 9Е. Это значит, что часть 1001 двоичного числа равна 9, а часть 1110 равна Е (конечно, в шестнадцатеричном коде). Следовательно, 1001 11102=9 E 16 . ( He следует забывать, что индексы означают основание системы счисления.) -Как преобразовать двоичное число 111010 в шестнадцатеричное? Надо начать с МБ и разделить двоичное число на группы из 4 бит. Затем надо заменить каждую группу из 4 бит эквивалентной шестнадцатеричной цифрой: 1010 2 =А, 0011 2 =3, следовательно, 111010 2 = 3 A 16 . Как преобразовать шестнадцатеричное число 7 F в двоичное? В этом случае каждая шестнадцатеричная цифра должна быть заменена своим двоичным эквивалентом из Таблица 1.5. Десятичные, шестнадцатеричные и двоичные эквиваленты

Пренебречь переполнением. 1.40. Следовать процедуре, приведенной в § 1.7: а) (+1) 0000 0001 б) (+20) 0001 0100 (—6) 1111 1010 (—60) 1100 0100 (—5) 1111 1011 (доп. код); (—40) 1101 1000(доп. код). 1.41. Следовать процедуре, приведенной в § 1.7: а) (_3) 1111 1101 б) (—13) 1111 0100

Таблица 1.6. Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное

Процедура действий соответствует табл. 1.6. Значениями позиций первых четырех шестнадцатеричных цифр являются соответственно слева направо 4096, 256, 16 и 1. Десятичное число содержит 14 (Е ]6 ) единиц, 6 чисел 16, 12 ( C 16 ) чисел 256 и 2 числа 4096. Каждая цифра умножается на соответствующий ей вес, получается сумма, которая и дает нам десятичное число 11374. Преобразуем десятичное число 15797 в

Старший бит является переполнением регистра, им пренебрегаем, что дает результат 0000 0011 = +3 10 . Заметим, что второе число было представлено в дополнительном коде, затем сложено с первым.

Используя дополнительный код и сумматор, микропроцессор выполняет вычитание.

Вычтем теперь большее десятичное число +6 из десятичного числа +2: 1-е число (+2) _ 0000 0010 - Дополнительный код + 2-е число (+6) = 00000110 — 1111 1010 (—4) 1111 1100 Дополнительный код первого числа +2=0000 0010, второе число +6=0000 0110, его дополнительный код (инверсия и добавление 1)—Л111 1010. Оба эти кода сложены

Первое частное (987) становится делимым во второй строке и снова делится на 16, что дает частное 61 и остаток 11 или шестнадцатеричное В. В третьей строке 61 делится на 16, дает частное 3 и остаток 13 10 или D 16 , а в четвертой строке делимое 3 делится на 16, дает частное 0 и остаток 3 10 или 3 16 . Когда частное равно 0, как в четвертой строке, преобразование заканчивается. 3 16 становится цифрой старшего разряда (СР) результата, т.е. 3 DB 5 16 . Упражнения 2.11. Шестнадцатеричная запись широко используется как сокращенная форма записи ____ (двоичных, десятичных) чисел. 2.12. Шестнадцатеричная система имеет основание____

Старший бит является переполнением 8-разрядного регистра, и им можно пренебречь.

Получаем сумму 0000 0100 или +4 10 . Сложим десятичные числа +3 и —8. Согласно все той же табл. 1.10 +3=0000 0011 и —8=1111 1000. Их дополнительные коды 0000 0011 и 1111 1000 складываются, как обычные двоичные числа, что дает 1111 1011=—5 10 :1-е число(+3) 0000 0011 + + (-8) 1111 1000 2-е число (—5) 1111 1011 Сложим десятичные числа —2 и —5. В дополнительном коде согласно табл. 1.10—2=1111 1110 и—5=1111 1011. Два числа 1111 1110.и 1111 1011 складываются, как обычные десятичные числа, что дает 1 1111 1001: 1-е число (-2) 1111 1110 + + 2-е число (-5) 1111 1011 (-7) 1 1111 1001 Пренебречь переполнением.

Старший бит результата является переполнением 8-разрядного регистра, и им пренебрегаем. Таким образом, суммой двух чисел 1111 1110 и 1111 1011 в дополнительном коде будет 1111 1001. Согласно табл. 1.10 сумма 1111 1001=—7 10 . Вычтем теперь десятичное число +5 из десятичного числа +8. Первое число +8=0000 1000, второе +5=0000

Микропроцессор не приспособлен для прямого вычитания. Он использует сумматоры и для выполнения вычитания оперирует над дополнительным кодом.

Сложим десятичные числа +5 и +3. Рассмотрим процедуру действий в случае одновременного сложения чисел в десятичном и в дополнительном кодах: 1-е число (+5) 0000 0101 + + 2-е число (+3) 00000011 (+8) 0000 1000 Согласно табл. 2. l 0 +5=0000 0101 в дополнительном коде аналогично +3=0000 0011. Тогда числа в дополнительном коде 0000 0101 и 0000 0011 складываются, как обычные двоичные числа, давая сумму 0000 1000 в дополнительном коде, т.е. 0000 1000=+8 10 . Пусть надо сложить десятичные числа +7 и —3. Согласно табл. 1.10 +7 = 0000 0111 и —3 = 1111 1101 соответственно в дополнительном коде. Они затем складываются, как обычные двоичные числа, и результат 1 0000 0100 получается в дополнительном коде: 1-е число (+7) 0000 0111 + + 2-е число (-3) 1111 1101 (+4) 1 0000 0100

Однако двоично-десятичное преобразование — операция не простая. В калькуляторах, магистралях и числовых приборах, когда на доступных пользователю выходах и входах широко распространены десятичные числа, для их представления используют специальный двоично-десятичный код (ДДК). В табл. 1.9 приведено несколько десятичных чисел и соответствующих им двоично-десятичных эквивалентов (система 8421). Этим определяются веса позиций каждого из четырех бит ДДК (используют другие ДДК, например 5421 и плюс 3). Таблица 1.9. Двоично-десятинный код 8421

Каждая группа из 4 бит прямо преобразуется в ее десятичный эквивалент, и тогда получаем 1000 0000 0111 0010ддк = =8072 10 : Двоично – десятичное число 1000 0000 0111 0010 Десятичное число 8 0 7 2 Микропроцессоры складывают чистые двоичные числа, но они обладают, однако, командами для преобразования результата своих сложений в двоично-десятичную запись.

Полученные двоично-десятичные числа легко затем представить в десятичной записи, используя выше описанные простые процедуры.

Упражнения 2.24. Запись ДДК является сокращением ________ . 2.25. Наиболее общей записью двоично-десятичного кода является ДДК ________ (5421, 8421). 1.26. Записать следующие десятичные числа в ДДК 8421: а) 39; б) 65; в) 40; г) J 7; д ) 82; е) 99. 1.27. Записать следующие двоично-десятичные числа в десятичном коде: а) 10,00 0000; б) 0000 0001; в) 1001 0010; г) 0111 0110; д ) 0100 0011 ; е) 0101 0101 . Решения 1.24. Двоично-десятичного кода. 1.25. 8421. 1.26.

Большинство микропроцессоров владеет командами сложения и вычитания двоичных чисел, однако некоторые, менее многочисленные выполняют команды умножения и деления (например, микропроцессоры Intel 8086 и Intel 8088). На рис. 1.4 а,б представлены простые правила двоичного сложения. Два первых (слева) правила очевидны, третье Рис. 1.4. Двоичное сложение: а — правила; б — Пример показывает, что 1 + 1 = 10, т. е.

Наиболее

Однако следует отметить, что, хотя мы получили двоичное число 0001 0000= 16 10 , исходная запись дополнительного кода 1111 0000= -16 10 , т.е. имеем отрицательное число, поскольку старший бит в дополнительном коде является 1. Упражнения Когда числа со знаком помещаются в 8-разрядный

Четвертое правило, наконец, показывает, что 1 + 1 + 1 = 11. В этом случае первое, второе слагаемые и запоминаемое & результате сложения в младшем разряде число —все 1. Результатом -является сумма—1 с переносом 1. Сложим двоичные числа 0011 1011 и 0010 1010 (операция показана на рис. 1.4,6). Для большей ясности действия с десятичными эквивалентами обрабатываемых чисел показаны на рисунке справа.

Суммой двух чисел 0011 1011 и 0010 1010 будет 0110 0101 2 . На рис. 1.5, а приведены правила двоичного вычитания.

Первые три аналогичны десятичному вычитанию.

Последнее требует заема из более значимого предшествующего разряда (в этом случае вес 2). Уменьшаемым является двоичное число 10, вычитаемым 1, разностью— 1. Вычтем двоичное число 0011 1001 из 0101 0101 . Этот пример приведен на рис. 1.5,6. Разряды весов 1, 2 и 4 этого двоичного вычитания просты для выполнения и относятся к первым трём правилам на рис. 1.5, а. В колонке веса : 8 имеет место вычитание 1 из 0. Тогда 1 занимается из колонки веса 16.

Заметим, что все положительные числа имеют 0 в старшем бите, остальные биты составляют двоичное число. Все отрицательные числа имеют 1 в старшем разряде.

Рассмотрим строку +0 в табл. 1.10: запись в дополнительном коде +0 будет 0000 0000 . В ближайшей нижней строке видим, что запись в дополнительном коде — 1 следующая: 1111 1111 . Рассмотрим пошаговое перемещение в обратном направлении от 0000 0000 до 1111 1111 . Какой будет запись в дополнительном коде числа —9? Рассмотрим этапы преобразования. Они следующие: Десятичное число 9 Этап 1 . Запись десятичного числа без знака (9) Двоичное число 0000 1001 Этап 2. Преобразование десятичного числа в двоичный код (0000 1001) Дополнение до 1 1111 0110 Этап 3. Получить обратный код (обратный или инверсный код)- заменой двоичного числа нулей единицами, - а единиц — нулями (1111 0110)

Окончательно колонка 16 делает заем из колонки 32, уменьшаемым в коленке 16 становится 10 2 , вычитаемым 1, разностью 1. В колонке 32 имеем 1—1=0, в колонке 64 —0—0=0, в колонке 28 — 0—0=0. Таким образом, рис. 1.5,6 иллюстрирует операцию вычитания 1001 2 из 0101 0101 2 (справа эта задача решена в десятичной записи). Приведем правила десятичного умножения: Множимые 0 1 0 1 X X X X Множители 0 0 1 1 Произведения 0 0 0 1 Два первых правила не требуют никаких пояснений. В двух следующих множителем является 1: когда множителем является 1 при двоичном умножении, множимое становится результатом и представляет собой произведение. Когда множитель 0, произведение всегда 0. Выполним умножение 1101 на 101. Как и в случае умножения десятичных чисел, множимое сначала умножается на число, стоящее в младшем разряде

Например, если регистр на

Вторым битом множителя является 0, тогда второе частичное произведение есть 0000 (заметим, что оно, сдвинуто на одну позицию влево). Битом разряда веса 4; множителя является 1, тогда для получения третьего частичного произведения снова следует копирование множимого (заметим, что копирован;: завершается новым сдвигом на одну позицию влево). После этого выполняем сложение трех частичных произведений что дает результат 1000001 2 . Полученный результат 110 l 2 101 2 =100000 l 2 соответствует произведению десятичных чисел 13 10 X 5 10 = : 65 10. Упражнения 1.28. Выполнить следующее сложения двоичных чисел: а) 1010+0101 б) 1101+0101 в) 1011011+00001111 г) 00111111+0011111 1.29. Выполнить следующие вычитания двоичных чисел: а)1110 - 1000 6)1010 - 0101 в)100110 - 00011010 г)01111000 - 01101111 1.30. Первое число при умножении называется ,