Ряд Тэйлора, законы физики и численное интегрирование дифференциальных уравнений

Например, - координата, количество движения, сила, энергия,… и так далее бесконечное число отдельных понятий, включая и ранее не называвшиеся отдельными именами и промежуточные и последующие понятия в составе ряда Тэйлора, хотя, в общем – это лишь элементы ряда Тэйлора. Четвёртый элемент ряда Тэйлора: F’’’(0)*x*x*x/3!: m1*v1*v1*v1/3! + m2*v2*v2*v2/3! = constant k1*x1*x1*x1/3! + k2*x2*x2*x2/3! = constant Гипотеза: - это тип записи и некоторых физических понятий и одновременно тип записи законов физики «по четвёртому элементу ряда Тэйлора», то есть можно записать некоторое физическое понятие типа F ’’’(0)* x * x * x /3! и можно записать некоторый физический закон типа F1’’’(0)*x1*x1*x1/3! + F2’’’(0)*x2*x2*x2/3! = constant , а ещё точнее - закон в векторном виде вектор{ F 1’’’(0)* x 1* x 1* x 1/3!}+ вектор{ F 2’’’(0)* x 2* x 2* x 2/3!}= constant _ vector . И так далее… Кажется очень очевидным метод записи вытекающих отсюда законов физики. Можно приравнивать к самому себе каждый отдельный элемент ряда Тэйлора (элемент слева от знака равенства отвечает за одну часть системы, а элемент справа от знака равенства отвечает за другую часть рассматриваемой системы). А более обобщённо можно сказать, что можно векторно складывать один типовой член ряда Тэйлора, но характеризующий разные объекты в рамках одной рассматриваемой системы – векторное сложение «координат», векторное сложение «количества движения», векторное сложение «силы», векторное сложение «энергий», и т.д. А можно приравнивать друг к другу и-или векторно складывать частичные суммы, то есть не отдельные элементы ряда Тэйлора, а суммы неких разных количеств первых членов ряда Тэйлора. А можно и не обязательно первых подряд элементов, а можно выдернуть любую часть ряда Тэйлора, например, из его середины. Или даже взять некие порции не подряд идущих элементов ряда Тэйлора. Во всяком случае, можно попробовать попытаться понять «чтобы это значило» (как когда-то была такая рубрика «чтобы это значило» в передаче «Вокруг смеха»). А полный ряд Тэйлора может быть образует, например, какой-нибудь один из обобщённых законов физики в виде ряда Тэйлора, - ряд, сходящейся к чему либо… или не сходящейся… кто его знает… Бывают разные ряды… Хотя с точностью до Ньютоновской линейной механики вполне очевидно можно считать использующимися только первые элементы ряда Тэйлора, а остальные можно считать отброшенными (не важными)… А с чем тогда можно сравнить Эйнштейновскую нелинейную механику (нелинейные зависимости при больших скоростях) - с каким количеством удержанных элементов ряда Тэйлора? Непонятно… Попробуем не трогать глобальные вещи, а попробуем рассмотреть частный пример. Выше было записано: Второй элемент ряда Тэйлора: F’(0)*x: m1*v1=m2*v2. Третий элемент ряда Тэйлора: F’’(0)*x*x/2: m1*v1*v1/2 + m2*v2*v2/2 = constant То есть, может быть, следуя предложенным интуитивным ассоциациям и аналогиям можно записать ряд Тэйлора в виде: m ( v )= m (0)+ m ’(0)* v + m ’’(0)* v * v /2 + m ’’’(0)* v * v * v /3! + … Но в известных законах физики фигурируют НЕ производные от массы, то есть НЕ m ’(0)* v , а сама масса, то есть m (0)* v . И НЕ m ’’(0)* v * v /2, а m (0)* v * v /2. Что это может означать? Что предположение о физической аналогии элементов математического ряда Тэйлора НЕ справедливо? Или может быть, что, например, понятие «масса» это в некотором смысле НЕ есть постоянная величина и эта величина может быть продифференцирована? И тогда может быть есть такая функция, которая при дифференцировании (причём многократном) дает всегда саму себя? То есть может быть F (0) = m (0) = F ’(0) = m ’(0) = F ’’(0) = m ’’(0) = ,…? Кажется, производная от экспоненты exp ( x ) это и есть та же самая экспонента (если у меня из памяти вылетел ещё не весь курс этого раздела математики). То есть, может быть, масса это есть функция экспоненты от некоторой величины х (типа exp ( x ))? И производная от exp ( x ) по этой самой х и даёт всегда одну и ту же exp ( x )? Так кажется. То есть можно предположить, что F ( v )= m ( v )= exp ( v ). То есть вполне авантюрно (зато забавно) можно предположить, что масса зависит от скорости по экспоненте. В первом (хоть в каком-нибудь) приближении. Причём экспонента от нуля это единица exp (0)=1 – частный случай, то есть за некую единицу можно считать величину массы в покое в некоторой точке координат. А вот уже если в этой точке координат у массы есть скорость, то есть масса двигается относительно рассматриваемой точки, то уже появляется элемент m (0)* v =1* v (где скорость не равна нулю). А если масса проходит координату с ускорением, то, может быть, это как раз характеризуется элементом m (0)* v * v /2=1* v * v /2? Скорее всего - нет.

Скорее всего, это всё ещё так называемые инерциальные системы отсчёта – когда скорость относительно некоей системы координат либо равна нулю либо постоянна (и прямолинейна). То есть, может быть, речь идёт о ряде вида 1+1* v +1* v * v /2+1* v * v * v /3!+…? То есть может быть в Ньютоновской механике (в инерциальных системах координат) просто были отброшены все «несущественные» члены ряда? То есть можно предположить, что F ( v )= m ( v )= exp ( v ). Кстати, один из вариантов начала поиска решения системы дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы предположить, что решение записывается в экспонентах… Может быть и здесь можно начать с такого же предположения? Тогда получаем ряд Тэйлора для движущейся массы: F ( v )= F (0)+ F ’(0)* v + F ’’(0)* v * v /2 + F ’’’(0)* v * v * v /3! + … m ( v )= m (0)+ m ’(0)* v + m ’’(0)* v * v /2 + m ’’’(0)* v * v * v /3! + … и подставляя F (0) = m (0) = F ’(0) = m ’(0) = F ’’(0) = m ’’(0) = 1,… получаем m ( v )= m (0)+ m (0)* v + m (0)* v * v /2 + m (0)* v * v * v /3! + … m ( v )= m (0)*(1 + v + v * v /2 + v * v * v /3! + …)=m(0)*exp(v)=1*exp(v)=exp(v) Как-то забавно получилось, что, предположив, что масса есть экспонента от скорости мы из ряда Тэйлора получили что это вроде бы не опровергается рядом Тэйлора. То есть масса покоя может быть принята за единицу, а добавка массы от скорости формируется как домножение на экспоненту от скорости… Хотя это уже, наверное, не столько ряд для массы, сколько может быть для энергии, которая начинается с неподвижной массы. То есть может быть «напрашивается» некая новая понятийная величина. Вот только возникает одна неувязочка – размерности элементов ряда Тэйлора. Дело в том, что в таком случае при таких физических смыслах элементов ряда Тэйлора у них получаются разные физические размерности, а ведь в физике запрещено складывать разные величины с разными размерностями, то есть нельзя складывать «яблоки» с «грушами»… m ( v )= m (0)+ m (0)* v + m (0)* v * v /2 + m (0)* v * v * v /3 + … [кг]=[кг]+[кг*м/с]+[кг*м/с*м/с]+ [кг*м/с*м/с*м/с]… Но с другой стороны ведь пишут же, что, например, полная энергия состоит из сложения кинетической энергии и потенциальной энергии. А ведь они тоже формируются разными физическими буковками, разными размерностями, но почему-то никто не стесняется считать, что записанные принципиально разными понятиями кинетическая и потенциальная энергии это одни и те же единицы измерения энергии… «Джоули» кажется (если у меня из головы вылетела ещё не вся физика с её понятиями и названиями…) Или может быть в ряде Тэйлора «устаканивать и взаимосвязывать» размерности могут факториалы? Типа 1! 2! 3! и т.п.? То есть может быть есть размерности у факториалов? То есть, может быть, можно считать, что факториалы могут быть с вот такими, например, размерностями, например, касательно ряда для массы: 1!=1 [с/м] 2!=1*2=2 [с/м]*[с/м] 3!=1*2*3=6 [с/м]*[с/м]*[с/м] и т.д. ? Или может быть можно не делать попыток «подогнать» рассуждения под имеющуюся «систему ценностей» касательно физических размерностей, а может быть можно предположить вполне авантюрную мысль, что размерности в физике могут быть не обязательно из перемножающихся или делющихся друг на друга целых буковок-понятий, а возможны и такие размерности как, например, «напрашивающаяся» размерность « exp ( v )= exp (м/с)=[ exp [м/с]]»? Вообще то можно использовать всё что угодно, лишь бы это приводило к правильным выводам – можно даже ввести понятие «комплексных физических размерностей» по аналогии с «комплексными числами» в математике (где используется понятие корня из минус единицы)… Лишь бы был хоть какой-нибудь хоть один полезный результат из всего этого. А что если рассмотреть формулу P = m * a (сила P есть произведение массы m на ускорение a ), где a - это ускорение, а точнее вторая производная от координаты по времени и можно как раз вспомнить, что в ряде Тэйлора есть таки тоже вторая производная от функции. F ( t )= F (0)+ F ’(0)* t + F ’’(0)* t * t /2 + F ’’’(0)* t * t * t /3! + … То есть можно вспомнить об F ’’(0) и предположить, что F ’’(0)= a = x ’’(0) и от этого попытаться «раскрутить» возможный смысл из всего ряда Тэйлора, из каждого его элемента… То есть Ньютоном было сказано, что сила P и ускорение a = x ’’ это взаимо-возникающая пара по отношению к массе m, то есть к изменению положения массы в пространстве. Если масса сдвигается, то есть меняется координата x в пространстве, то есть некая скорость v . Но и скорость v возникает не мгновенно. Она возникает от некоего нулевого значения до некоего ненулевого, а, значит, есть как минимум и вторая производная координаты по времени a = x ’’. Вот третья производная x ’’’ уже считается не обязательной и неочевидной. А вот вторая производная x ’’ точно должна быть в Ньютоновской механике.

Рассмотрим тогда ряд Тэйлора касательно формулы для координаты x в пространстве в зависимости от времени x ( t ): x ( t )= x (0)+ x ’(0)* t + x ’’(0)* t * t /2 + x ’’’(0)* t * t * t /3! + … x(t)=x(0)+v(0)*t+a(0)*t*t/2 + x’’’(0)*t*t*t/3! + … Ньютоном был взят элемент a (0) ряда Тэйлора и была записана формула: понятие силы P = m * a (0) и векторное сложение сил. Нам также хорошо знакома формула: понятие КОЛИЧЕСТВО_ДВИЖЕНИЯ= m * v (0) и формула векторного сложения количеств движения m 1* v 1(0)= m 2* v 2(0) на основе понятия v (0) из того же ряда Тэйлора. А почему бы тогда (вполне авантюрно) не использовать все элементы ряда Тэйлора и по отдельности и в виде частичных сумм? Кто мешает? А раз никто не мешает, то вполне можно. КОРДИНАТА_МАССЫ= x (0) [м] и векторное сложение координат домножаем КООРДИНАТУ (как элемент ряда Тэйлора) на массу и получаем «правило рычага» m 1* x 1= m 2* x 2 СКОРОСТЬ= v (0)= x ’(0) [м/с] и векторное сложение скоростей домножаем СКОРОСТЬ (как член ряда Тэйлора) на массу и получаем КОЛИЧЕСТВО_ДВИЖЕНИЯ= m * v (0)= m * x ’(0) [кг*м/с] и векторное сложение количеств_движения УСКОРЕНИЕ= x ’’(0) [м/с/с] и векторное сложение ускорений домножаем УСКОРЕНИЕ (как член ряда Тэйлора) на массу и получаем СИЛА= m * a (0)= m * x ’’(0) [кг*м/с/с] и векторное сложение сил Но можно «по инерции» рассуждений «настрогать» и много аналогичного такого же материала… СЛЕДУЮЩЕЕ_ПОНЯТИЕ= m * x ’’’(0) [кг*м/с/с/с] ЕЩЁ_БОЛЕЕ_СЛЕДУЮЩЕЕ_ПОНЯТИЕ= m * x ’’’’(0) [кг*м/с/с/с/с] и так далее… То есть из ряда Тэйлора F ( x )= F (0)+ F ’(0)* x + F ’’(0)* x * x /2 + F ’’’(0)* x * x * x /3! + … можно вполне пытаться лепить «законы физики». То есть если, например, ряд Тэйлора для расчёта координаты x ( t ) положения массы в пространстве: x(t)=x(0)+v(0)*t+a(0)*t*t/2 + x’’’(0)*t*t*t/3! + … домножить на эту самую массу m , то получим: m*x(t) = m* { x(0)+v(0)*t+a(0)*t*t/2 + x’’’(0)*t*t*t/3! + …} А в математике есть приём – чтобы два ряда были равны между собой должны быть равны между собой все соответствующие друг другу отдельные линейно независимые элементы этих рядов. Вот и можно поприравнивать к самим себе линейно независимые отдельные члены ряда Тэйлора. То есть, можно вообразить, например, что система состоит из двух объектов, каждый из которых характеризуется своим рядом Тэйлора и тогда можно приравнять друг к другу отдельные линейно независимые соответствующие друг другу элементы двух рядов Тэйлора. Причём вполне в духе математики – с точностью до константы: m 1* x 1(0) = m 2* x 2(0) – закон равновесия или рычага «масса на плечо». m1*x1(0) + m2*x2(0) = constant ( векторно ) m 1* v (0) = m 2* v 2(0) – закон реактивного движения на основе понятия «количество движения» m1*v(0) + m2*v2(0) = constant ( векторно ) m 1* v 1(0)* t 1 = m 2* v 2(0)* t 2 – закон «импульса количества движения» m1*v1(0)*t1 + m2*v2(0)*t2 = constant ( векторно ) m 1* a 1(0) = m 2* a 2(0) – квазистатический закон «сила действия равна силе противодействия» m1*a1(0) + m2*a2(0) = constant ( векторно ) m * a (0)* t * t /2 = m * a (0)* t * t /2 – может быть возможен не квазистатический, а динамический закон «импульса действия силы», то есть, например, можно сказать, что «импульс действия силы равен импульсу действия противодействующей силы» m*a(0)*t*t/2 + m*a(0)*t*t/2 = constant ( векторно ) И так далее… и тому подобное… сколько угодно… (ряд Тэйлора то бесконечный)… А если как и ранее принять, что масса зависит от скорости как экспонента: m ( v )= m (0)*(1 + v + v * v /2 + v * v * v /3! + …)=m(0)*exp(v)=1*exp(v)=exp(v) то можно записать перемножение рядов Тэйлора, то есть в формулу m*x(t) = m*{ x(0)+v(0)*t+a(0)*t*t/2 + x’’’(0)*t*t*t/3! + …} можно вместо m вписать m ( v ): m(v)*x(t)= m(0)*(1+v+v*v/2+v*v*v/3!+…)*{x(0)+v(0)*t+a(0)*t*t/2+x’’’(0)*t*t*t/3!+…} Раскроем скобки справа и получим: m(v)*x(t)= m(0)*(1)*{x(0)+v(0)*t+a(0)*t*t/2+x’’’(0)*t*t*t/3!+…} + m(0)*(v)*{x(0)+v(0)*t+a(0)*t*t/2+x’’’(0)*t*t*t/3!+…} + m(0)*(v*v/2)*{x(0)+v(0)*t+a(0)*t*t/2+x’’’(0)*t*t*t/3!+…} + m(0)*(v*v*v/3!)*{x(0)+v(0)*t+a(0)*t*t/2+x’’’(0)*t*t*t/3!+…} + … Предположим, что можно рассматривать систему с точностью до, например, 2 членов ряда m ( v ) и 2 членов ряда x ( t ). Тогда получаем: m ( v )* x ( t )= m (0)*(1)*{ x (0)+ v (0)* t }+ m (0)*( v )*{ x (0)+ v (0)* t }+ … m(v)*x(t)= m(0)*{x(0)+v(0)*t+v*x(0)+v*v(0)*t+…} Получаем некое обобщённое понятие наличия энергии присутствия массы в некоторой координате пространства при наличии у массы скорости прохождения этой координаты. m (0)* x (0). Получается, что энергией как таковой обладает и сама координата.

Координата сама по себе. Но если в ней есть хоть какая-то масса. Ведь если она есть, значит, она за счёт чего-то удерживается, не меняется, в потенциале препятствует тому, чтобы находиться в другой точке. Ведь, например, у неподвижной крепостной стены есть же потенциальная энергия препятствования вражеским солдатам сдвинуть эту стену.

Потенциальная энергия наличия координаты как таковой.

Получается. «Координата массы» Далее получаем m (0)* v (0)* t . Это можно считать, что, например, масса имеет некую постоянную скорость v (0) некоторое время t . Это некая частичка кинетической энергии. Некий аккумулятор движения. Ещё не растраченная скоростная характеристика с точки зрения её сохранения некоторое время. «Импульс скорости массы». Далее получаем m (0)* v * x (0). Это характеристика того, что скорость имеется именно в рассматриваемой точке, а не в другом месте, не в другом окружении, не в другом силовом поле. Некая и кинетическая и потенциальная части энергии – и скорость и координата. «Координата скорости массы». Далее получаем m (0)* v * v (0)* t . Здесь есть стационарная часть скорости v (0) в течении некоего времени t нахождения в точке 0 и есть v * t - поправка на то, что сама величина скорости нелинейно формирует кинетическую энергию. «Нелинейность импульса скорости массы». И так далее… Предположим, что можно рассматривать систему с точностью до, например, 3 членов ряда m ( v ) и 3 членов ряда x ( t ). m(v)*x(t)= m(0)*(1)*{x(0)+v(0)*t+a(0)*t*t/2}+ m(0)*(v)*{x(0)+v(0)*t+a(0)*t*t/2}+ m(0)*(v*v/2)*{x(0)+v(0)*t+a(0)*t*t/2}+ Тогда получаем: m ( v )* x ( t )= m(0)*x(0) + m(0)*v(0)*t + m(0)*a(0)*t*t/2 + m(0)*v*x(0) + m(0)*v*v(0)*t + m(0)*v*a(0)*t*t/2 + m(0)*v*v/2*x(0) + m(0)*v*v/2*v(0)*t + m(0)*v*v/2*a(0)*t*t/2 + m (0)* a (0)* t * t /2 – «импульс ускорения массы» m (0)* v * a (0)* t * t /2 – «нелинейность импульса ускорениямассы» m (0)* v * v /2* x (0) – «нелинейность взаимосвязи координаты и скорости массы» m (0)* v * v /2* v (0)* t – «нелинейность импульса скорости массы» m (0)* v * v /2* a (0)* t * t /2 – «нелинейность взаимовлияния скорости и импульса ускорения массы» и так далее… И как и раньше можно поприравнивать сами с собой отдельные линейно независимые элементы ряда Тэйлора, если считать, что рассматривается замкнутая (без добавки и утечки энергии) система из 2-х объектов. А в более общем случае можно опять таки записывать векторное сложение относительно каждого типового линейно независимого члена ряда Тэйлора в зависимости от количества участвующих в системе взаимо-влияющих объектов. Если вернуться к самой первой ассоциации, с которой и началась вся эта «каша из топора», то это были не более чем «ассоциации»: Второй элемент ряда Тэйлора F ’(0)* x : m1*v1+ m2*v2 = constant ( или m1*v1 = m2*v2+const) Третий элемент ряда Тэйлора F ’’(0)* x * x /2: m1*v1*v1/2 + m2*v2*v2/2 = constant То есть, это были ассоциации, что в формировании выше приведённых формул участвуют v и v * v /2! и что эти элементы кажется явно из ряда Тэйлора для exp ( v )= exp (0)*(1+ v + v * v /2!+ v * v * v /3!+…). Тогда вполне ассоциативно авантюрно можно предположить: Четвёртый элемент ряда Тэйлора: m 1* v 1* v 1* v 1/3! + m 2* v 2* v 2* v 2/3! = constant Пятый элемент ряда Тэйлора: m 1* v 1* v 1* v 1* v 1/4! + m 2* v 2* v 2* v 2* v 2/4! = constant … То есть «может быть выйдет, а может нет, новая песня, вместо старых штиблет» (песенка из фильма)… Можно помимо ряда Тэйлора для exp ( v ) попытаться рассмотреть ещё и ряд Тэйлора для расчёта координаты x ( t ) положения массы в пространстве в зависимости от времени: x(t)=x(0)+v(0)*t+a(0)*t*t/2 + x’’’(0)*t*t*t/3! + … Почему бы не попробовать предположить, что математический ряд Тэйлора может быть «истолкован» с точки зрения физики? Ну, например, если его примитивно домножить на массу? Например, можно попробовать «толковать элементы ряда» : m 1* x 1(0) + m 2* x 2(0) = constant «правило рычага» m 1* v 1(0) + m 2* v 2(0) = constant «количества движения» m1*a1(0) + m2*a2(0) = constant « силы » m1*x1’’’(0) + m2*x2’’’(0) = constant «?» или «толковать частичные суммы ряда» : m1*{x1(0)+v1(0)*t}+ m2*{x2(0)+v2(0)*t}= constant «?» m1*{x1(0)+v1(0)*t+a1(0)*t*t/2}+ m2*{x2(0)+v2(0)*t+a2(0)*t*t/2}= constant «?» m1*{x1(0)+v1(0)*t+a1(0)*t*t/2+x1’’’(0)*t*t*t/3!}+ m2*{x2(0)+v2(0)*t+a2(0)*t*t/2+x2’’’(0)*t*t*t/3!} = constant «?» m1*{v1(0)*t+a1(0)*t*t/2 }+ m2*{v2(0)*t+a2(0)*t*t/2} = constant «?» и т.п. совершенно в разнообразных вариантах. То есть, может быть, главная загвоздка не в том, чтобы «понадёргать» разных физических «понятий» и «законов» из математического ряда Тэйлора сколько в том, чтобы правильно их истолковать словами, правильно сформулировать рамки их применения-толкования-объяснения. А вообще то весь этот «студенческий» материал вспомнился и был от скуки написан в стиле «в каждой шутке есть доля шутки»… Ph.D. Alexei Vinogradov 14 апреля 2007 www.AlexeiVinogradov.narod.ru AlexeiVinogradov@yandex.ru Кстати, вот ещё одна попытка поделиться одной из студенческих мыслей.

Читали нам как-то в бауманке численные методы решения дифференциальных уравнений. И, кажется, приводили аналитический вывод формул одного из авторов. Или это просто мелькнуло в учебнике (я имею в виду вывод формул). Уже не очень помню.