Исследования согласованного фильтра

Основные теоретические положения Из теории оптимальных методов радиоприема известно, что в условиях действия гауссовской помехи типа белого шума оптимальный приемник должен вычислять интеграл вида

Рассмотрим задачу синтеза оптимального фильтра в условиях действия аддитивной помехи. Пусть принятый сигнал имеет вид

Соответственно в момент времени t 0

Поэтому определим фильтр, который обеспечивал бы на выходе максимальное соотношение сигнал/помеха.

Воспользуемся неравенством Буняковского - Шварца

Заметим, что неравенство (8) превращается в строгое равенство, если

Очевидно, что отношение сигнал/помеха будет тем больше, чем сильнее отличается спектр сигнала от спектра помехи.

Рассмотрим случай, когда помеха представляет собой белый шум со спектральной плотностью мощности N 0 /2. В этом случае комплексно - частотная характеристика оптимального фильтра

Фильтр с характеристикой (13), оптимальный для помехи типа белого шума называется согласованным.

Максимальное отношение сигнал/помеха (14) на выходе такого фильтра определяется только энергией сигнала и спектральной плотностью мощности помехи и не зависит от формы сигнала. По значению это отношение совпадает с максимальным отношением сигнал/ помеха на выходе корреляционного приемника.

Отсюда, в частности, следует, что в условиях действия помехи типа белого шума помехоустойчивость корреляционного приемника и согласованного фильтра одинаковы.

Рассмотрим более подробно комплексно - частотную спектральную плотность полезного сигнала в виде

Сравнивая (15) и (16) находим

Фазовая характеристика согласованного фильтра определяется двумя слагаемыми.

Первое из них - j ( w ) равно фазовому спектру сигнала, взятому с противоположным знаком.

Назначение его в том чтобы компенсировать фазовые сдвиги различных составляющих сигнала. В результате в некоторый момент времени t=t 0 все составляющие выходного сигнала будут совпадать по фазе и, складываясь, давать максимум выходного сигнала. Если бы фазовая характеристика фильтра не компенсировала фазовые сдвиги составляющих сигнала, то максимумы гармонических составляющих сигнала не совпадали бы во времени, а это привело бы к уменьшению выходного напряжения.

Второе слагаемое - w t 0 обеспечивает задержку момента совпадения фаз составляющих сигнала на величину t 0 . Понятно, что значение t 0 не может быть меньше длительности обрабатываемого сигнала.

Напряжение на выходе согласованного фильтра

Максимальное значение u вых (t) принимает в момент времени t=t 0 .. Еще раз подчеркнем, что значение t 0 должно быть больше или равно длительности сигнала, т.е. максимум u вых (t) достигается только после обработки всего принятого сигнала.

Рассмотрим импульсную характеристику h(t) согласованного фильтра.

Учитывая, что h(t) любого фильтра связано K(j w ) преобразованием Фурье, находим

Фильтр, согласованный с некоторым сигналом s(t) , имеет импульсную характеристику, определенную выражением (20), Очевидно, что этот же фильтр будет согласованным с сигналом s(t-t 1 ) , сдвинутым по времени относительно s(t) на t 1 . Изменение времени прихода сигнала приводит только к смещению момента достижения выходным сигналом его максимального значения.

Согласованный фильтр для М-сигналов Формирование М-сигналов. В последнее время в радиолокации и связи все более широко применяются сложные широкополосные сигналы. Одним из способов получения таких сигналов является изменение фазы высокочастотных колебаний по закону М-последовательностей, строящихся , в свою очередь на основе линейных рекуррентных последовательностей.

Линейной рекуррентной последовательностью называется периодическая последовательность символов x 1 ?x 2 ...x n ,...x i ,...x L , удовлетворяющая рекуррентному правилу a 0 x i =a a 1 x i-1 a 2 x i-2 ... a n x i-n , (25) где символы последовательности и коэффициенты a i принимают значения из области G(0,1....p-1), сложение и умножение производится по модулю р. Здесь число n - память последовательности, число р - основание последовательности, а наименьшее число L, при котором x L+i =x i - период, или длинна последовательности.

Коэффициент а в дальнейшем будем считать равным нулю.

Соотношение (25) называется правилом кодирования. В случае двоичной последовательности значения символов последовательности и коэффициентов a i равны либо нулю, либо единице, а суммирование ведется по MOD 2 , которое определяется так

Генератор работает от внешних запускающих импульсов, называемых тактовыми.

Рассмотрим процесс генерирования последовательности символов. Пусть в исходном состоянии ячеек регистра сдвига s n , s n-1 ,...s 1 совпадают соответственно с символами x 1 , x 2 ,...x n . С приходом тактового импульса записанная в регистре информация сдвигается в сторону старшего разряда.

Символ x 1 выходит из регистра, а в освободившуюся первую ячейку записывается символ с выхода устройства обратной связи.

Теперь состояние ячеек регистра сдвига s n , s n-1,... s 1 будет определятся как x 2 , x 3 , x 4 ,... x n+1 , где x n+1 = a i x n +1 -i С приходом следующего тактового импульса на входе регистра появляется символ x 2 , а в первую ячейку записывается символ x n+2 = a i xn +2-i При этом состояние ячеек памяти s n , s n-1 ,...s 1 будет совпадать соответственно с символами x 3 , x 4 ,...x n+2 . Появляющиеся на выходе регистра последовательность являются линейной рекуррентной.

Период генерируемой последовательности зависит от выбранного правила кодирования и начального состояния регистра. s n , s n-1 ,...s 1 . В частности, если все ячейки регистра сдвига находятся в нулевом состоянии, то независимо от правила кодирования на его выходе получается последовательность, состоящая из одних нулей.

Поэтому максимальный период линейной рекуррентной последовательности равен 2 n -1 где n - память последовательности.

Последовательности с периодом 2 n - 1 называются линейными рекуррентными последовательностями максимального периода, или МО-последовательностями. Для их получения необходимо выбрать правило кодирования x i =a i x i - 1 ... a n x i-n таким образом, чтобы многочлен f(x)=a n x n a n-1 x n-1 ... a 1 x 1 были примитивными [2] можно показать, что для любого n числа примитивных многочленов определяется как j ( L) - функция Эйлера, равная для любого L>0 числу целых положительных чисел, меньших L и взаимно простых с L , включая и единицу. В качестве примера приведем все примитивные многочлены для n=5 : f 1 (x)=x 5 x 3 1, f 2 (x)=x 5 x 2 1, f 3 (x)=x 5 x 4 x 3 x 2 1, f 4 (x)=x 5 x 4 x 3 1, f 5 (x)=x 5 x 4 x 2 1, f 6 (x)=x 5 x 3 x 2 1. Любой из них может быть использован для получения М-последовательности. Так, для многочлена f(x)=x 5 x 3 1 правило кодирования x i =x i-3 x i-5 . Заметим, что чем больше членов содержится в многочлене f(x) , тем сложнее генератор.

Учитывая, что М-последовательности нашли наиболее широкое применение в технике связи, укажем их основные свойства. 1. М-последовательность с периодом 2 n -1 содержит все возможные комбинации n - значных двоичных чисел, за исключением нулевой. 2. Число единиц в последовательности на единицу больше числа нулей, причем появление единицы и нуля для постороннего наблюдателя, не знающего закон формирования последовательностей, случайно во времени. В частности, этому свойству М-последовательности обязаны и другим названиям - псевдослучайные последовательности. 3. Результат почленного суммирования М-последовательности с этой же последовательностью, но сдвинутой на i символов, где i=1,2,...L-2 , представляет собой исходную последовательность, но сдвинутую на некоторое другое число символов, Описание лабораторной установки Функциональная схема установки приведена на рис. 3 Рисунок SEQ Рисунок * ARABIC 3 Она состоит из генераторов ГМП, вырабатывающего М-последовательность 111100010011010, 111..., смесителя СМ, согласованного фильтра СФ и решающего устройства РУ. Согласованный фильтр (рис. 4) состоит из линии задержки с отводами, совокупности инверторов, суммирующего устройства и фильтра, согласованного с одиночным видеоимпульсом (ОВИ) длительностью, равной длительности t 0 элементарного импулься М - сигнала. Рисунок SEQ Рисунок * ARABIC 4 Шаг задержки между двумя соседними отводами рамен t 0 . Инверторы подключены таким образом, что при появлении последующего импульса М - сигнала на входе согласованного фильтра все импульсы на входе суммирующего устройства оказываются положительными. При этом напряжение на выходе фильтра достигает максимального значения, а импульсная характеристика описанного фильтра является зеркальным отображением сигнала.

Решающее устройство представляет собой спусковую схему, которая в момент отсчета может принимать одно из двух состояний. В лабораторной установке предусмотрена подача на вход согласованного фильтра двух полезных сигналов (противоположных по знаку), подключение генератора шума и генераторов помеховых сигналов, имеющих структуру, подобно структуре полезного сигнала.

Порядок выполнения работы 1. Включить необходимые приборы и источники питания. 2. Просмотреть и зарисовать осциллограммы полезных сигналом. 3. Просмотреть и зарисовать импульсную характеристику фильтра. 4. Просмотреть и зарисовать осциллограммы напряжений на выходе фильтра в отсутствие шума. 5. Просмотреть и зарисовать осциллограммы полезных сигналов при наличии шума. 6. Просмотреть и зарисовать осциллограммы напряжений на выходе фильтра при различной мощности шума на входе согласованного фильтра. 7. Снять зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал/помеха на входе фильтра. 8. Посмотреть и зарисовать осциллограммы посторонних сигналов. 9. Посмотреть и зарисовать осциллограммы напряжений на выходе фильтра при подаче посторонних сигналов.

Домашнее задание 1. Рассчитать и построить корреляционные функции: одиночного полезного сигнала; переодического полезного сигнала. 2. Рассчитать и построить взаимные корреляционные функции: одиночного полезного и одиночного “чужого” сигнала; периодического полезного и периодического ”чужого” сигналов. В качестве “чужого” сигнала используется полезный сигнал с реверсивным порядком следования сигналов. Отчет о работе 1. Структурная схема лабораторной установки (включая схему согласованного фильтра). 2. Наблюдаемые осциллограммы напряжений, экспериментальные зависимости и результаты измерений. 3. Ответы на контрольные вопросы.