Квазистатический метод анализа случайных процессов в нелинейных системах

Приведенные рассуждения можно обобщить на нелинейные системы, описываемые функциональными рядами Вольтерра . Встречаются трудности при анализе ел. пр. в нелинейных системах второго вида, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Будем говорить, что система имеет порядок k , если она описывается дифференциальным уравнением k -го порядка.

Применительно к нелинейной системе первого порядка нелинейное дифференциальное уравнение может, например, иметь вид (1.2) Вид функций f (•) и g (•) определяется параметрами рассматриваемой системы. Для детерминированной системы (преобразования) эти функции считаются детерминированными и извест-Если функции f и g нелинейны относительно , то (2) e сть нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка. В том случае, когда входное воздействие ( t ) содержит белый шум п((), уравнение принято называть стохастическим дифференциальным уравнением. Если же ( t ) содержит только коррелированное воздействие ( c л. пр. с конечным, не нулевым интервалом корреляции), то соответствующее дифференциальное уравнение будем называть флюктуационным дифференциальным уравнением, хотя в литературе встречаются и другие названия (уравнение Ланжевена, кинетическое уравнение}. Формулировка задачи анализа остается прежней: предполагая известными параметры модели системы, т. е. конкретный вид уравнения (2) и необходимые вероятностные характеристики входного процесса (воздействия) ( t ), требуется найти нужные вероятностные характеристики выходного процесса ( t ). Те характеристики выходного процесса ( t ), которые нужно находить, определяются физическим содержанием конкретной задачи.

Обычно интересуются моментами (чаще всего м. о. и корреляционной функцией) выходного процесса ( t ) или же п. в. (чаще одномерной и реже двумерной). Известно, что характер решения нелинейного дифференциального уравнения зависит от его вида, формы внешнего воздействия и начальных условий, причем в общем случае невозможно записать решение в квадратурах. В этом состоит существенное отличие нелинейных инерционных преобразований ел. пр. от линейных, для которых выходной процесс выражается через входной с помощью интеграла свертки. По этой же причине нелинейные инерционные преобразования принципиально отличаются от безынерционных преобразований и сводящихся к ним. При безынерционных (функциональных) преобразованиях ел. пр. известны сравнительно простые методы «пересчета» вероятностных характеристик (9). Для нелинейных инерционных преобразований не существует единого метода решения. Метод решения нелинейных флюктуационных дифференциальных уравнений, в частности уравнения (2), определяется двумя факторами: 1) интенсивностью случайного воздействия !;(/) и 2) отношением интервала корреляции t к . воздействия к характерной постоянной времени системы t с . При этом, говоря об интенсивности случайного воздействия, здесь имеем в виду не фактическую величину самого сл. пр. ( t ) (например, величину его дисперсии), а вызываемый им в системе эффект (случайный разброс). Отметим, что если система сложная и характеризуется несколькими постоянными времени, то в качестве времени тс следует брать минимальное из них.

Аналогично, ели внешнее случайное воздействие ( t ) характеризуется несколькими временами, то под t к следует понимать максимальное из них зависимости от указанных двух факторов можно указать следующие частные случаи и соответствующие методы их рассмотрения. 1. Случайное воздействие малой интенсивности. В данном случае независимо от соотношения t к и t с применим метод линеаризации. Он заключается в том, что сначала находится решение исходного нелинейного дифференциального уравнения в отсутствие малого случайного воздействия, а затем уравнение линеаризуется относительно малых случайных отклонений от невозмущенных значений и делается пренебрежение нелинейными членами, содержащими эти случайные отклонения. В результате для случайных отклонений получается линейное дифференциальное уравнение.

Методы преобразования c л. пр. линейными системами были рассмотрены ранее. Метод линеаризации позволяет сравнительно просто вычислить м. о. и корреляционную функцию процесса ( t ) в стационарном и нестационарном состояниях.

Однако при негауесовском возмущении ( t ) весьма трудно (например, методом вычисления моментов) найти даже одномерную п. в. для ( t ). 2. Случайное воздействие большой интенсивности. Здесь нет единого и универсального метода решения; выбор метода зависит от соотношения t к и t с . a . Если t с >> t к и входное воздействие ( t ) представляет собой гауссовский c л. пр, то применим хорошо разработанный аппарат марковских процессов. В частности, для анализа поведения динамических систем можно использовать известное уравнение ФПК, а задачи, связанные с достижением границ (срывом слежения и автозахватом), решать с помощью уравнения Пон-трягина.

Данный случай характерен для многих следящих радиотехнических устройств. Метод марковских процессов даже в существенно нелинейных задачах в принципе позволяет находить непосредственно п. в. выходного процесса ( t ). Сложность фактического получения решения для конкретной задачи существенно зависит от порядка дифференциального уравнения, описывающего поведение рассматриваемой системы, и вида начальных и граничных условий. К настоящему времени аналитическими и численными методами получено много важных и оригинальных результатов в основном для одномерных и двумерных нелинейных систем.

Применительно к динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями третьего и более высоких порядков, часто возникают трудности в получении точных и компактных аналитических и численных результатов. В подобных случаях, когда возникают затруднения, иногда можно продуктивно воспользоваться явлением нормализации ел. пр. на выходе инерционной системы. При этом заранее принимается, что п. в. выходного -процесса является нормальной, и затем тем или иным способом вычисляются ее определяющие параметры. В частности, если дисперсия выходного процесса мала, то ее можно определять из линеаризованного уравнения, а м. о. из нелинейного уравнения. Кроме такого метода применяют также квазилинейный метод (часто называемый методом статистической линеаризации). При его применении предполагается заранее известной п. в. выходного процесса, и поэтому он часто фактически базируется на том же явлении нормализации. b . При t с « t к можно ограничиться решением задачи в квазистатическом приближении. Оно характеризуется тем, что в первом приближении делается пренебрежение временной производной, например в уравнении (2). После этого задача сводится к нелинейному безынерционному преобразованию (1.3) Решив это уравнение относительно ( t ), получим ( t ) = F ( t , ,( t )). При квазистатическом приближении внешнее случайное воздействие считается настолько медленно изменяющимся, что система с определенной деформацией безынерционно отслеживает его. В некоторых задачах при сведении инерционного нелинейного преобразования к безынерционному целесообразно воспользоваться методом осреднения Н. Н. Боголюбова. в.

Случай промежуточных времен корреляции ( t с~ t .к) является наиболее сложным при анализе. Ряд нелинейных систем при таком условии можно анализировать, используя функциональное представление Вольтерра нелинейных дифференциальных уравнений2. Отметим, что области применения перечисленных методов анализа принципиально не ограничиваются порядком нелинейного дифференциального уравнения.

Однако с повышением порядка уравнения существенно возрастает трудоемкость вычислений. В дальнейшем проиллюстрируем методику применения разных методов на конкретных радиотехнических примерах, рассмотрение которых представляет самостоятельный интерес. 2. КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД Общие условия применения квазистатического метода и его сущность были кратко указаны выше.

Получим этим методом конкретные результаты применительно к детектированию Рис. 2. Упрощенная схема типового радиоприемника Рис. 3. Схема амплитудного детектора ставить в виде (7.42): случайных узкополосных процессов.

Основными элементами типового радиоприемника являются УПЧ и детектор (рис.2). Обычно УПЧ представляет собой линейный узкополосный четырехполюсник. При воздействии на него широкополосного гауссовского шума п({) (например, собственных шумов предыдущих каскадов) и полезного гармонического сигнала 5(0 выходное напряжение можно пред- (2.1) Для простоты предполагается, что частота полезного сигнала совпадает с центральной частотой полосы пропускания УПЧ. Случайное напряжение ( t ) воздействует на детектор.

Найдем характеристики случайного напряжения ( t ) на выходе детектора.

Проиллюстрируем методику применения квазистатистического метода на примере амплитудного детектора огибающей, схема которого изображена на рис.3. Пусть нелинейный элемент Д (диод) имеет вольт-амперную характеристику i = g ( v ), v = — . Считая равным нулю внутреннее сопротивление генератора входного напряжения ( t ) из очевидных соотношений получим дифференциальное уравнение (2.2) Поскольку назначение любого детектора в радиоприемнике состоит в возможно лучшем выделении модулирующего напряжения, то он, во-первых, должен сглаживать радиочастотные колебания и, во-вторых, напряжение на цепи КС должно успевать «следить» за изменениями модулирующего напряжения (применительно к амплитудному детектору следить за огибающей). Выполнение этих двух условий достигается тем, что параметры детектора должны удовлетворять двум неравенствам: (2.3) -интервал корреляции огибающей В( t ). Петектор для которого выполняются эти два неравенства, принято называть детектором огибающей.

Другие случаи использования детектора, когда эти условия не выполняются, здесь не рассматриваются . Выполнение условий (3) существенно упрощает задачу исследования процесса детектирования случайных сигналов, так сак при этом выходное напряжение ( t ) почти безынерционно (квазистатически) зависит от огибающей В( t ). Проинтегрируем это уравнение за период Т 0 : Подставив (1) в (2)' имеем (2.4) При выполнении первого условия (3) функция ( t ) мало изменяется за период Т 0 . Поэтому разность ( t + T 0 ) - ( t ) почти не отличается от ( t )Т 0 . Медленно изменяющиеся величины под знаком интеграла можно принять приближенно постоянными, т. е. можно положить и учитывать изменение только cos ( wt ' + ). Поэтому (4) можно записать как и это уравнение затруднительно решить в общем виде. Хотя г и переходный процесс, рассмотрим в дальнейшем щионарное состояние. Для стационарного состояния при выполнении второго неравенства (3) можно ограничиться квазистатистическим ограничением Т. е. в левой части уравнения (5) можно пренебречь производной. После этого получим уравнение (2.6) дающее безынерционную зависимость выходного напряжения ( t ) от огибающей В( t ). Здесь при интегрировании по х величины В и г) принимаются постоянными. Таким образом, при исследовании воздействия узкополосного сл. пр. на детектор огибающей в стационарном состоянии можно ограничиться квазистатическим приближением, т. е. вместо точного дифференциального уравнения (2) можно ограничиться анализом приближенного функционального соотношения (6). Для линейного детектора огибающей, имеющего характеристику (2.7) где R 1 — внутреннее сопротивление диода в открытом состоянии, из (о) получим (2.8) Безразмерную величину А; можно назвать коэффициентом воспроизведения огибающей.